31 Den „analytiske Methode"; „Elementer". 229 



givet. Der gives altsaa netop Anvisning paa Brug af dens Sætninger til deraf at 

 „sammensætte" videregaaende Sætninger og Løsninger af Opgaver af en bestemt 



these, hvilken Apoi.lonio.s ikke har medtaget i sine Keglesnitselementer, men — overensstemmende med 

 „Elementer's Hensigt - muliggjort ved disse, bygges paa disse Sætninger; det er ogsaa af dem, at 

 Newton udleder sin Bestemmelse af de to Steder. 



En Synthese vil, naar de 3 eller 4 Linier samt Forholdet a er opgivne, være en fuldstændig 

 Bestemmelse af den Kurve, hvis Punkters Afstande x, y, z, u fra Linierne tilfredsstiller en af Betingelserne 



X- = a-y u eller x z ^ a • g u. 



Denne Synthese vil, ligesom Menaichmos' Bestemmelse af andre geometriske Steder, som vi i 

 næste Kapitel skal omtale, fremtræde som en Konstruktion (f. Eks. af Akserne i det ved en af disse 

 Ligninger bestemte Keglesnit), efterfulgt af et Bevis for, at den konstruerede Kurve virkelig har den for- 

 langte Egenskab. En saadan Synthese vil, ligeledes som hos Men.^ichmos, svare til en foregaaende 

 Analyse, ved hvilken det søgte geometriske Sted antages at foreligge, hvorefter man af den opgivne 

 Egenskab udleder saadanne, som kan benyttes til den forlangte Konstruktion. Mangler ved Analysen 

 vil da medføre tilsvarende i det Grundlag, hvorpaa Synthesen skal bygges. Det er en saadan Mangel, 

 Apollonios tillægger Euklid, idet han endog tilføjer, at ,,det ikke var muligt at tilendebringe Synthesen 

 uden det af mig fundne" (où )-àp i^" àufaràv ä>eu rûti' -pooEupr/ße^wi' fjiih TsÅstw'/fj'.'ai t^c oJ^'>£<7(v). 



Nu er der et Fremskridt, som man ogsaa har andre gode Grunde til at tillægge Apollonios, og som 

 netop vil have ydet, hvad Apollonios her siger. Ved en Analyse vil, naar man holder sig til et Sted til 4 Linier, 

 af hvilke x = O og z = O er parallele, og benytter den nys nævnte Potenssætning, Stedet vise sig at 

 være et Keglesnit omskrevet om det af de fire Linier dannede Paralleltrapez. Dette kan dog, naar 

 Kurven er en Hyperbel, kun gælde, naar man betragter dennes to Grene under et som en Kurve. Det 

 har Apollomos virkelig gjort fra først af, og han har fremhævet det ved i Fortalen at betegne Ind- 

 holdet af 1. Bog som en alraindeliggjort Behandling af de tre Keglesnit og „modstaaende ijù/f ù>zust/iévw>) 

 Keglesnit". Euklid, der ogsaa kendte Potenssætningen, hvad man kan slutte af Archimedes' Anvendelse 

 af denne Heibergs 2. Udg. I, S. 270 fl.), har sikkert ogsaa brugt den til Bestemmelse af Stedet til fire Linier. 

 Analysen vilde da fare til samme Resultat, naar Kurven viste sig at være en Ellipse eller Parallel; men 

 naar den Del af det søgte geometriske Sted, som skulde bestemmes i Synthesen, var en enkelt Hyperbel 

 gren, vilde den muligvis kun gaa gennem to eller ingen af Trapezets Vinkelspidser. I Stedet for de 4 

 Bestemmelser, som denne Del af Analysen hos Apollonios stiller til Haadighed for den synthetiske 

 Konstruktion af Keglesnittet (og som skal suppleres ved en Anvendelse af Konstanten a), faar Euklid, 

 naar, som det tør antages, ikke allerede han har suppleret den ene Hyperbelgren med den modstaaende, 

 kun 4, 2 eller O Bestemmelser (eller ialt 5, 3, 1), hvorved, som Apollonios siger, Synthesen bliver ,, umulig". 

 Allerede Analysen vil iøvrigt hæmmes ved den Begrænsning i Potenssætningen, som følger med Anven- 

 delsen paa en enkelt Hyperbelgren. 



Iøvrigt henvises til VII. og VIII. Afsnit af „Keglcsnitslæren i Oldtiden". Den omtalte Anvendelse 

 af Potens.sætningen til at reducere Opgaven til Bestemmelsen af et Keglesnit, som er omskrevet om et 

 Trapez og yderligere bestemmes ved Værdien af Konstanten a, lægges ved Apollonios' 111. Bog saa nær, 

 at det næppe kan betvivles, at han, som efter ham Newton, er gaaet denne Vej. For virkelig at 

 gennemføre Synthesen maa han imidlertid endnu bestemme Keglesnittet ved disse Betingelser, og man 

 maa forstaa hans Ord, som om hans III. Bog ogsaa giver Midler hertil. Den, der virkelig vil skaffe 

 Klarhed over, hvad Apollonios formaaede, kan derfor ikke unddrage sig for at prøve om, og om muligt 

 paavise, at saadanne Midler virkelig foreligger. De Veje, ad hvilke dette kan ske, er imidlertid saa 

 forskellige, at man ikke kan sikre sig netop at angive den, som Apollonios selv er gaaet; men allerede 

 ved at vise, at der overhovedet i hans III. Bog findes Sætninger, der kan tjene til Grundlag for en saa- 

 dan Vej, styrker man Tilliden til hans Oplysninger om, hvad hans III. Bog kunde bruges til ogsaa paa 

 hans Tid. 



Her bar vi vel kun lait om Stedet til fire Linier i det Tilfælde, hvor Linierne x = O, r = O er 

 parallele; men Stedet til tre Linier er et specielt Tilfælde heraf, og Bestemmelsen af det almindelige 

 Sted til fire Linier, som overhovedet af geometriske Steder, der bliver Keglesnit, lader sig føre tilbage 

 hertil (Keglesnitslæren i Oldtiden, VIII. og X. Afsuit|. 



