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Kig. 10. 



Wir haben noch besonders die Umrisse zu bestimmen, wenn P in einem End- 

 punkt der oben genannten Bögen liegen, also entweder in S in R oder in A. 



Nehmen wir erst P in dem Punkt S, wo die Haupt 

 tangenten hyperoskulieren. Hier hat die Schnittkurve x der 

 Fläche mit der in P berührenden Ebene zwei in P fallende 

 Inflexionspunkte. Die im Allgemeinen von P ausgehenden 

 Tangenten an x fallen also mit den in P berührenden zu- 

 sammen. Deshalb liegen die zwei Spitzen der Kurve m in 

 der auf der Symmetrieachse senkrechten Doppeltangente, 

 und dieselbe wird zugleich in den Spitzen berühren. Man 

 erhält so die in Fig. 10 angegebene Form des Umrisses. 



Liegt P in R, dann hat der Umriss offenbar eine drei- 

 fache Tangente, siehe Fig. 11. 

 Nehmen wir endlich P in einem Punkt A einer der parabolischen Kreise ;r,. 

 Wir haben schon oben im Satz (6) gesehen, dass die Spur / der Ebene des Kreises in 

 der Bildebene eine Wendetangente des Umrisses ist, und dass deren Berührungs- 

 punkt die Spur T der in P berührenden Tangente an n^^ ist. Es 

 kommt nun wesentlich darauf an zu sehen, das cu einzügig ist. 

 Denken wir uns, dass w ausser den Zweig w', der durch T geht, 

 noch einen Zweig w" enthält. Die Klasse von co' muss paar 

 sein, weil sonst co in zwei Zweige dritter Klasse zerfallen würde, 

 was infolge des Hilfsatzes (8) Seite 10 ausgeschlossen ist. Aus einem 

 T nahe liegenden Punkt M von w' gehen deshalb zwei Tan- 

 genten an co' ausser derjenigen, die in M berührt. Durch jeden 

 Punkt von m' gehen also auch in derselben Weise zwei Tan- 

 genten an co', weil diese Kurve keine Doppelpunkte und ausser 

 / keine Wendetangenten hat. Aber infolge des Satzes (1) gehen durch jeden Punkt 

 von o)' (in derselben Weise verstanden) nur zwei Tangenten an o) = w' -f- co". 

 CO kann desshalb ausser co' keinen anderen Zweig enthalten, denn co' müsste, als 



Kurve unpaarer Ordnung {iv = 1), von jeder 

 Tangente an co" geschnitten werden. 



Der Umriss ist also einzügig, hat zwei 

 Spitzen, zwei Doppeltangenten, eine Wende- 

 tangente und keine Doppelpunkte. 

 Die Form der Kurve, indem eine auf die Ebene (Aa) senkrechte und zu a 

 parallele Ebene als Bildebene gewählt wird, findet sich Fig. 12. 



Wir wollen nun zu den Umrissen aus nicht in der Fläche liegenden Augen- 

 punkten P übergehen. Die Zahl der Wendepunkte ist immer null, und die Zahl der 

 Doppeltangenten ist in den verschiedenen Fällen leicht ersichtlich. Eine Änderung 

 in der Zahl der Spitzen kann jedenfalls nur dann stattfinden, wenn der veränder- 

 lich gedachte Punkt P eine hyperoskulierende Haupttangente oder die Fläche in 



Fig. 11. 



Fig. 12 



