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Kig. 13. 



einem hyperbolischen Punkt oder möglicherweise auch die Ebene eines parabolischen 

 Kreises überschreitet. 



Wir wollen erst P im Inneren der Fläche liegend annehmen. Weil durch 

 einen elliptischen Punkt M der Fläche vier Haupttangenten gehen, deren Berührungs- 

 punkte alle in endlicher Entfernung von M liegen, 

 l)leiben vier durch P gehende Haupttangenten er- 

 halten, wenn P von M aus in das Innere der Fläche 

 dringt. 



D e r U m r i s s <u m u s s a u c h e i n z ü g i g blei- 

 ben. Sie kann nämlich nicht in zwei Kurven vierter, 

 zwei dritter oder zwei zweiter Klasse zerfallen, was 

 man ganz wie früher sieht. Der oben Seite 13 ge- 

 führte Beweis dafür, dass m auch nicht in eine Kurve 

 vierter Klasse ut' und eine zweiter Klasse lo" zer- 

 fallen kann, setzte aber voraus, dass at ganz im End- 

 lichen liegt. Davon kann man hier nicht ausgehen 



(siehe das folgende), aber man kann ersichtlich machen, dass wenn man das 

 genannte Zerlegen annehmen würde, dann müsste m ganz im Endlichen liegen, und 

 dann würde wieder der obige Beweis für die Unmöglichkeit des Zerfallens sein 

 Recht behalten. Nehmen wir also an, m zerfalle in eine Kurve co" vierter und eine 

 (o zweiter Klasse. Aus einem einer Spitze naheliegenden Punkt M von w" gehen 

 nun wenigstens zwei Tangenten an m", aber infolge Satz (1) gehen aus M nur zwei 

 ausserhalb M berührende Tangenten an m = co' -j- co". Es muss dessbalb co" ganz 

 im Innneren von lo liegen. Eine ausserhalb cu liegende Gerade / hat deshalb 

 keinen Punkt mit cu gemein, und diese liegt ganz im Endlichen, wenn / ins Unend- 

 liche projiciert wird. Eine Kurve vierter Klasse mit vier Spitzen, zwei Doppel- 

 tangenten und ohne Doppelpunkte muss nun entweder die in Fig. 7 oder die in 

 Fig. 13 dargestellte Form haben. Diese geben auch die zwei möglichen Formen 

 des Umrisses, denn wir können leicht dafür sorgen, das diese eine Symmetrieachse 

 und höchstens zwei unendlich ferne Punkte haben. Es ist aber die Frage, ob 

 diese als mögliche erkannte Formen auch wirklich beide als Umrisse auftreten. 

 Dies ist eben der Fall. Der projektive Unterschied zwischen der Kurve in Fig. 7 

 und in Fig. 13 ist nämlich der, dass im ersteren eine auf die Symmetriachse senk- 

 rechte Verbindungsgerade zweier Spitzen ausser diesen noch zwei Punkte mit der 

 Kurve gemein hat, während dies mit der Kurve in Fig. 7 nicht statt findet. 

 Betrachten wir nun die früher in Fig. 8 und in Fig. 9 angegebenen Umrissen aus 

 einem hyperbolischen Punkt P^ der Fläche, sehen wir, dass man hier zwei Spitzen 

 finden kann, deren Verbindungsgerade den genannten Bedingungen genügt. Weil 

 die Berührungspunkte der durch diese Spitzen gehende Haupttangenten in endlicher 

 Entfernung von P^ liegen, werden die genannten Bedingungen noch giltig bleiben 

 für einen Augenpunkt P, der im Inneren der Fläche liegend noch Pj hinreichend 



