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benachbart ist. Die Übergangskiuve in der Ebene des Ovales « zwischen Augen- 

 punlvte, weiche Umrisse der Form in Fig. 7 und der Form in Fig. 13 geben, ist also 

 eine Kurve, die innerhalb a von A über ^S nach ß geht, und ist der Ort der Punkte, 

 aus denen vier in einer Ebene liegende Haupttangenten gehen ; sie ist schwerlich im 

 Allgemeinen genauer zu charakterisieren.') 



Indem wir nun zu den Umrissen oj aus jenen Augenpunkte Obergehen, welche 

 ausserhalb der Fläche liegen, werden wir uns erst klar machen, wann Doppel- 

 punkte in M auftreten und wann nicht. Der Aussenraum der Fläche wird durch 

 den doppel umschriebenen Kegel und durch das hyperoskulierende Hyperboloid in 

 getrennte Gebiete zerlegt, welche wir mit (a) (/?) (;) {S) (s) bezeichnen wollen. Es 

 wird nicht zu Missverständnissen leiten können, wenn wir durch dieselben Bezeich- 

 nungen zugleich die in der Ebene des Ovales « liegenden ebenen Gebiete der genannten 

 räumlichen verstehen wollen. Diese ebene Gebiete werden durch Bögen der a. 

 hyperoskulierenden Hyperbel it und durch Strecken der Doppeltangenten / und /', 

 sowie durch Bögen von a begrenzt. Freilich haben wir keine Rücksicht auf eine 

 durch die Ebenen der parabolischen Kreise bewirkte Zerlegung genommen; das 

 folgende zeigt indessen, dass dies im projektiven Sinne auch nicht nöthig ist. Es 

 kommt nun darauf an zu sehen, in welche ebene Gebiete eine das Oval a doppel- 

 berührende Hyperbel n eindringen wird. 



Die Berührungspunkte P und Q einer solchen Hyperbel mit a liegen nach 

 dem früheren (siehe Seite 7) beide auf dem Bogen i?S/?j (Fig. 1), und sie gehen 

 bzw. von R und R^ aus so, dass sie in S zusammenfallen. Betrachten wir nun 

 allein die Verhältnisse in einer der durch a begrenzten Halbebenen, können zwei 

 Hyperbel, für welche a die Iransverse Achse ist, höchstens zwei Punkte mit ein- 

 ander gemein haben. Eine beliebige doppel berührende Hyperbel -r' muss nun die 

 Hyperbel ■k in zwei Punkten schneiden, welche beide auf dem Bogen VSl] ^ liegen, 

 wo [7 und t/j die Schnittpunkte von t und t' mit n sind. Ebenso müssen von den 

 zwei Schnittpunkten von tz mit / und t' der eine auf der endlichen Strecke f//?, 

 der andere auf der endlichen Strecke V^R^ liegen. Es ist dies eine Folge davon, 

 dass die oben genannten Gebiete völlig begrenzt sind, und dass eine Kurve n' nie- 

 mals in das Innere des Ovales a eindringen kann. Deshalb kann rJ weder n noch 

 (/fj) ausserhalb der genannten Bögen oder Strecken schneiden, und kann deshalb 

 nicht in die Gebiete («) und (ß) eindringen. Die sich stetig ändernde Kurve n-', 

 deren Grenzstellungen (//') und n sind, wird aber die Gebiete (/?), (;-) und (e) ganz 

 überstreichen. 



Ferner bemerken wir, dass eine Änderung der Zahl e der Spitzen jedenfalls 

 nur dann eintreten kann, wenn durch den Augenpunkt zusammenfallende Haupt- 

 tangenten gehen. Es geschieht dies, wenn man nur Punkte ausserhalb der Fläche 

 in Betracht zieht, jedenfalls nur wenn entweder das hyperoskulierende Hyper- 



') Auch für den gewöhnlichen Kugelring ist es mir nicht gelungen die Gleichung der obengenannten 

 Kurve in irgend überscliauliclier Form zu bringen; in Fig. 1 ist die Übergangskurve punktiert skizze- 

 niässig angegeben. 



