17 



195 



boloid oder die Ebene eines parabolischen Kreises ausserhalb des Kreises über- 

 schreitet; was hier in der genannten Beziehung durch den Übergang bewirkt wird, 

 kann man nicht im Voraus wissen. Es kann aber keine Änderung in e geschiehen, 

 wenn den doppel umschriebenen Kegel in einem „allgemeinen" Punkt über- 

 schreitet. 



Endlich wollen wir noch bemerken: 



Jeder Umriss der Fläche aus einem ausserhalb der Fläche (10) 

 liegenden Punkt kann ins Endliche projiciert werden. 



Eine durch gehende auf die Achse o senkrechte Ebene schneidet entweder 

 nicht die Fläche oder schneidet sie in zwei Kreisen (die auch zusammenfallen 

 können). Im ersteren Fall wähle man als Bildebene eine auf a senkrechte Ebene, 

 und ebenso auch dann, wenn O innerhalb beider genannten Kreise liegt (siehe 

 Seite 9). Wenn aber ausserhalb beider Kreise liegt, kann man immer eine 

 durch gehende die Fläche nicht schneidende Ebene finden, und wähle dann die 

 Bildebene parallel derselben. In beiden Fällen gehen nämlich infolge Satz (1) vier 

 Tangenten an w aus einem unendlich fernen Punkt ihrer Ebene. Wir setzen im 

 Folgenden immer voraus, dass to ganz im Endlichen liegt. 



Man erinnere noch, dass die Bildebene immer so gewählt werden kann, dass 

 das Bild von a eine Symmetriachse wird. 



Wir nehmen nun O in einem Punkt des Gebietes (o). Bewegt sich von 

 einem elliptischen Punkt der Fläche aus in (d) hinein, sieht man sogleich, dass die 

 vier Spitzen des Umrisses bleiben, und dass eine neue 

 Kurve in w auftreten muss, die man unschwer als Oval 

 erkennt. Verfährt man aber so, wird man im Unsichern, 

 ob diese Verhältnisse auch bleiben, wenn in (o) die 

 Ebene eines parabolischen Kreises überschreitet. Wir 

 werden deshalb den Umriss oj aus einen beliebigen Punkt 

 von (d) ganz direct bestimmen. Es hat cu erstens zwei 

 Doppeltangenten und keine Doppelpunkte oder Inflexions- 

 punkle. Wenn also oj einzügig wäre, dann hätte sie auch 

 vier Spitzen wie aus der allgemeinen Theorie der Kurven 



vierter Klasse hervorgeht. 



Fig. 14. 



Man hat nämlich den folgenden Satz:') 



„Hat eine einzügige Kurve vierter Klasse d Doppelpunkte, t Doppeltangenten 



und e Spitzen, dann ist, wenn d = 0, entweder t 

 wenn aber c? > 0, dann hat man immer 



e = 2 ((/—/)•" 



z e 



4, oder / 



3, e 



2, 



') Siehe: Einleitung in die Theorie der ebenen Elementarkurven dritter und vierter Ordnung. 

 D, Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Skrifter, 7. Række, Mat. Nat. Afd. XI, 2. 1914. § 13 S. 51. 



Wir hätten auch diesen Satz mit Nutzen früher anwenden können, haben es aber vorgezogen, 

 die Umrisse aus einem Punkt der Fläche independent und mit den geringsten Voraussetzungen zu 

 charakterisieren. 



D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., iialuividensk. oi^ nialheni. .\r<l.. 8. R.okke. I. 4 26 



