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Dann müsste aber w die in Fig. 7 angegebene Form haben, und aus einem 



unendlich fernen Punkt würden nur zwei Tangenten an 



w geilen. 



Der Umriss 



muss also zerfallen. Er kann aber nach einer schon mehrmals benutzten Schluss- 

 ■weise nicht in zwei Kurven vierter oder zwei dritter Klasse zerfallen. Auch nicht 

 in zwei Ovale, weil zwei solche Kurven, die zwei Tangenten mit einander gemein 

 haben, einander in zwei Punkten schneiden. Es zerfällt also cu in eine Kurve <o" 

 vierter und eine oj' zweiter Klasse. Aus jedem Punkt M von w gehen infolge Satz 

 (1) zwei ausserhalb M berührende Tangenten, abex aus jedem Punkt A' von w", die 

 keine Doppeltpunkte hat, gehen auch zwei Tangenten an w", die ausserhalb A' 

 berühren. Daraus folgt, dass w" ganz im Inneren von oj' liegt, und daraus weiter, 

 dass die zwei Doppeltangenten von (u, beide oj" angehören müssen. Diese Kurve 

 hat also vier Spitzen und wird wieder die Form von Fig. 7 haben. Die Form des 

 jetzigen Umrisses ist also vollständig charakterisiert (siehe Fig. 14). Diese Bestim- 

 mung ist vollständig unabhängig davon, ob auf der einen 

 oder auf der anderen Seite der Ebene eines parabolischen 

 Kreises liegt. 



Denken wir uns jetzt den Augenpunkt im Gebiete («). 

 Liegt in der Achse a, dann ist der Umriss zwei Kreise. 

 Bei allgemeiner Lage in {a) hat a jedenfalls keine Doppel- 

 punkte, Doppeltangenten oder Wendetangenten. Wäre sie 

 einzügig, müsste sie deshalb zweiter Klasse sein, was un- 

 möglich ist, weil aus dem unendlich fernen Punkt ihrer 

 Ebene vier Tangenten gehen. Die Kurve muss also aus 

 zwei Ovalen zusammengesetzt sein, von welchen offenbar 

 das eine ganz im Inneren des anderen liegen muss (Fig. 15). 

 Wir haben noch die Fälle, dass O in (/?), (^-) oder (î) liegen kann, zu behan- 

 deln. In diese Gebiete kann man aus einem der schon untersuchten Gebiete («) 

 oder (d) eindringen, ohne dabei andere singularitätsändernde Fläche als die doppel 

 umschriebene Kegelfläche (/) zu überschreiten. Beim Über- 

 schreiten dieser Fläche bleibt die Zahl der Spitzen unver- 

 ändert, und die Änderungen, welche Doppelpunkte und Dop- 

 peltangente betrefTen, sind bekannt. In der Übergangsform 

 berühren sich zwei Bögen des Umrisses, und sie gehen hier 

 vom Sich-schneiden zu Sich-nicht-schneiden (oder umgekehrt) 

 über; es folgt dies aus der früheren Betrachtung der auf- 

 tretenden Doppelpunkte. 



Obgleich eine independente Bestimmung des Umrisses 

 für alle Lagen des Augenpunktes ohne wesentliche Schwie- pi". 16. 



rigkeiten durchführbar ist, wird dies doch in den noch Testie- 

 renden Fallen ziemlich weitläuftig, und wir werden uns daher damit begnügen die 

 noch nicht untersuchten Umrisse aus den schon gefundenen abzuleiten. 



Fig. 15. 



