17 Platons Krav til en rationel iMathematik. 215 



Skønt vi mere kommer til at beskæftige os med Geometrien, faar dette Stykke 

 om Arithmetiken ikke ringe Betydning for os, fordi Skildringen af det rene Talbe- 

 greb tillige tjener til Prøve paa det Krav paa Renhed, som ogsaa skal stilles til de 

 geometriske Begreber; thi ogsaa for Geometriens Vedkommende lægges der fra 

 Platon's Tid af an paa, gennem „den rene Tænkning at komme i Besiddelse af 

 den rene Sandhed." 



Platon's Ord yder et Bidrag til den rette Forstaaelse af Euklid's arithmetiske 

 Bøger og vil da i Forening med dem vise, hvor vidt man allerede paa Platon's 

 Tid maa være kommen i Retning af det samme Talbegreb, som Euklid gaar ud 

 fra. Det maa da fremhæves, at dette Begreb om Enhed og derved om Tal, som 

 efter Platon ikke tør anvendes paa benævnte Tal og i Sammenhæng dermed heller 

 ikke tilsteder Brøkdannelse, er forskelligt fra det, som vi nu gaar ud fra. Vi taler 

 vel ogsaa om rene eller ubenævnte Tal, deriblandt først Enheden og de hele Tal. 

 Operationer med dem frembyder for os den Fordel, at de bliver anvendelige, hvil- 

 ken Benævning man end derefter giver Tallene. Vi kan da ogsaa „skære Enheden 

 i et Antal lige store Stykker" og tage dem til ny Enhed og derved faa Brøker. For 

 de Mathematikere, som Platon omtaler, og for Euklid er derimod Enheden og 

 dermed de øvrige hele Tal Regnesymboler, med hvilke der opereres efter bestemte 

 Regler, og først disse lærer, hvad Enhed og Tal er, idet man faar at vide, hvad de 

 bruges til. Derfor kan Euklid's Definition paa Enhed ikke sige andet, end at det 

 er et Begreb, som man vil faa Brug for. Euklid VII, Def. 1 siger: Mo'jdç èativ, 

 xaä-'rjv ïxaazov nuu ovzcuv iv Åéycvat (Enheden er det, efter hvilket hver enkelt Ting 

 kaldes én), og Def. 2, at et Tal er den Mængde, som bestaar af Enheder, altsaa hvad 

 vi nu kalder et helt Tal. 



Definitionen paa Tal giver allerede Anvisning paa Tælling som den første Tal- 

 operation og som Middel til at sammenligne, addere og subtrahere dem; men Reg- 

 lerne for de øvrige Operationer gives i Proportionslæren, i hvilken man i Virkelig- 

 heden opnaar det samme, som vi nu opnaar ved Brug af Brøker. Herpaa peger 

 ogsaa Platon, naar han siger, at Mathematikerne, naar man vil skære Enheden i 

 StykkerJ(f. Ex. dele den i 5 ligestore Dele og tage 3, altsaa danne Brøken f), strax 

 mangfoldiggør den (hvad man gør, naar man lader to Størrelser forholde sig som 

 Tallene 3 til 5). Hans Bemærkning viser iøvrigt, at Tanken om en Deling, altsaa 

 om Brøkdannelse, ikke har ligget ham fjernt; vi ved ogsaa, at man i den græske 

 Logistik brugte de fra Ægypten arvede Stanibrøker (Brøker med Tælleren 1). Platon 

 vil netop fremhæve, at Mathematikerne tager Afstand fra Brøkdannelse, saa vel som 

 fra enhver Brug af benævnte Tal, der selvfølgelig var den Forbindelse, hvori Tal 

 brugtes i det daglige Liv. Her er altsaa Tale om et valgt og villet System, som 

 Mathematikerne lagde til Grund for en exakt og rationel Behandling, og det er det 

 samme, som for Arithmetikens Vedkommende findes hos Euklid. Forberedt er dog 

 naturligvis dette System ved Pythagoreernes praktiske Anvendelse af Forhold og 

 Proportioner. Denne er vistnok ogsaa fortsat i den græske Logistik, og at den 



V I). K. D, Viilensli.Selsk.Slir , naiui-vidensk. og mathem. Atel., 8. Rælike. 1 5. 29 



