23 Platons Krav til en rationel Mathematik. 221 



Hvorledes han dog i det mindste har haft det for Øje, skal jeg i flere af de føl- 

 gende Kapitler søge at paavise og derved tillige at bidrage til en bedre Forstaaelse 

 af Euklids berømte Værk. 



Kap. IV. 

 Den „analytiske Methode"; „Elementer". 



Her rejser sig nu det Spørgsmaal, om Platon selv paa anden Maade end ved 

 saadanne almindelig holdte Udtalelser som dem, vi her har anført, har bidraget til 

 at give Geometrien, og dermed den i geometrisk Form iklædte Algebra, en saadan 

 ideel Skikkelse som den, vi træffer hos Euklid. Det er ikke om en Udvidelse af 

 den geometriske Viden lier er Tale, men om en Overgang fra en mere intuitiv 

 Tilegnelse af denne til en sammenhængende rationel Begrundelse, som gaar ud fra 

 de allerenklesle Forudsætninger. Det er netop disse og den Maade, hvorpaa den 

 mere intuitive Viden er sammensat eller dog lader sig sammensætte af dem, som 

 man ikke har gjort sig Rede for under den intuitive Tilegnelse. Spørgsmaalet 

 derom var imidlertid forlængst rejst ved Opdagelsen af irrationale Størrelser, og 

 dets Behandling var paa dette Omraade efterhaanden naaet til en vis Fuldkommen- 

 hed (se Oversigt 1910 og 1915). Efter Opdagelsen af, at V2 er irrational, laa det 

 straks nær intuitivt at antage, at Kvadratrødderne af andre Ikke-Kvadrattal ogsaa 

 maatte være det; men dette Spørgsmaal, hvis Interesse er rent rationel, maalte 

 kræve en rationel Besvarelse. Den negative Bestemmelse: irrational, blev ført 

 tilbage til Bestemmelsen: inkommensurable Størrelser, som vel formelt ogsaa er 

 negativ; men der lader sig dog opstille en Regel for, ved Anvendelse af Bestem- 

 melsen af største fælles Maal, at prøve, om Størrelser er kommensurable eller 

 inkommensurable. Det er ikke svært at paavise Irrationalitet af Rodslørrelser, 

 naar man først kan gaa ud fra, at et Primtal ikke kan gaa op i et Produkt uden 

 at gaa op i en af Faktorerne. Dette sidste vil vel ingen nægte, som har nogen 

 Fortrolighed med Talbehandling; men han kommer i Forlegenhed, naar man 

 spørger : hvorfor. Her er altsaa i Virkeligheden kun Tale om en intuitiv Viden ; 

 en rationel Besvarelse faas først, naar man gaar tilbage til et klart opstillet Tal- 

 begreb. Saaledes maa Theaitet være kommen til det Talbegreb, som Platon til. 

 lægger Mathematikerne. Gaaende ud fra dette og den Operation, som bruges ved 

 Bestemmelse af største fælles Maal, har han dernæst bevist den nævnte Sætning og 

 dermed de antagne Sætninger om Rationalitet og Irrationalitet. 



De her beskrevne Betragtninger udgør den ved Theaitet og hans F'orgængere 

 udførte Analyse af de Sætninger, som skulde prøves, efterfulgt af en Synthese, 



