47 Intuitive Billeder, Sjnsoplevelser. 245 



give Geometrien, der tillige omfattede den daværende Form for en almindelig Alge- 

 bra, en saadan Skikkelse som den, Platon krævede. Den første Betingelse for et 

 saadant Arbejde var, at der allerede existerede en Mathematik, hvis Sætninger man 

 kunde udstykke i „Elementer", ja i sine første Elementer, Definitioner og Axiomer, 

 for af disse igen at sammensætte baade de Sætninger, man gik ud fra, og nye Sæt- 

 ninger. At denne Betingelse virkelig var til Stede i et Omfang, der i sine ydre Om- 

 rids ikke udvidedes synderlig ved Euklid's Elementer, ser vi tildels af Hippo- 

 KRATEs' Behandling af Halvmaanerne, der viser, at han besad og forstod at anvende 

 hele det ikke ubetydelige Udsnit af geometrisk Viden, som han derved kunde faa 

 Brug for; Demokrit kendte Pyramidens og Keglens Rumfang, og de fem regulære 

 Polyèdre var kendte paa Platon's Tid. Den anden Forudsætning er, at denne 

 ældre Viden ikke allerede selv var erhvervet ad væsentlig de samme Veje, som 

 Euklid følger i sine Elementer, og som vi efter ham har vænnet os til at betragte 

 som de eneste, der fører til en paalidelig Viden. Man kunde i Virkeligheden fristes 

 til al tro, at Hippokrates' Viden er vundet ad lignende Veje, naar man ser ham 

 benytte den paa hans Tid foreliggende Viden til ligesaa korrekte Slutninger som 

 dem, Euklid eller en nulevende Mathematiker vilde gøre. Mange har derved ladet 

 sig friste til ogsaa for de Sætningers Vedkommende, som han anfører og benytter, 

 men for hvilke vi ikke kender hans Begrundelse, at forudsætte Begrundelser stem- 

 mende med de euklidiske Principer. Saaledes har endog Hankel, hvis Omtale af 

 indisk Mathematik dog viser hans Erkendelse af, at der ogsaa gives andre Veje til 

 mathematisk Viden end den helt igennem forstandsmæssige Behandling, i den Grad 

 forset sig paa dennes Optræden hos Grækerne, at han overser, at den heller ikke 

 hos dem kunde være Udgangspunktet, men kun en Behandlingsform, som først 

 kunde udvikle sig, efterhaanden som den fik Materiale at tumle med. Naar saa- 

 ledes Hippokrates ved, at Cirkler forholder sig som Kvadraterne paa deres Dia- 

 metre, kan Hankel kun forestille sig, at denne Viden er erhvervet paa en Maade, 

 som i nogen Maade stemmer med Euklid's Bevis for denne samme Sætning. I saa 

 Fald maatte Hippokrates have foregrebet Betragtningsmaader, .som Eudoxos vist 

 med Rette faar Æren for at have indfort. Paa Grund af Manglen af de samme 

 Betragtningsmaader, der maa kræves anvendte i et exakt Bevis for Sætningerne om 

 Pyramidens og Keglens Rumfang, betænker Archimedes i „Ephodos" sig paa at betragte 

 Demokrit som disses Opdager. Og som virkehgt Bevis for de paa Platon's Tid 

 kendte fem regulære Polyèdres Existens betragtede Grækerne efter Euklid kun den 

 af ham givne Konstruktion, som knytter sig til den forudgaaende Inddeling af de 

 Størrelser, der — som vi nu siger — er irrationale ved Kvadratrod. Den formelle 

 Opstilling af Definitioner og Axiomer, som danner et uundværligt Grundlag for 

 en systematisk Behandling, gaar, efter hvad vi ved, heller ikk'e paa noget væsent- 

 ligt Punkt længere tilbage end til Platons Tid. Der var altsaa virkelig paa hans 

 Tid noget at gøre for at opføre en systematisk Lærebygning, der omfattede den 

 geometriske Viden, som man alt besad. 



Hvorledes var da denne ældre Viden erhvervet? Og hvorfra skrev sig den 



