206 



Kap II. 

 Mathematiken som rationel Videnskab. 



For at holde det ud fra hinanden, som skal udgøre Genstanden for vor Sam- 

 menligning, skal vi begynde med al omtale de Krav til en systematisk Behandling 

 af Mathematiken, som Platon gjorde sig til Talsmand for, som findes gennemførte 

 i Euklid's Elementer og er fulgte af hans græske Efterfølgere, og som endnu danner 

 en Rettesnor for Mathemalikens haade skolemæssige og videnskabelige Behandling, 

 om end baade Udgangspunkt og dermed Formerne for Gennemførelsen har ændret 

 sig. Disse Krav gaar ud paa, at Mathemaliken skal være en logisk Videnskab, hvor 

 hvert enkelt Resultat naas som en Følge af de foregaaende. Sætninger og Beviser 

 maa udtrykkes dels ved saadanne Ord af det sædvanlige Sprog, som kan antages 

 vel kendte og fri for enhver Tvetydighed, dels ved Ord og Symboler, for hvis Be- 

 tydning man forud gør Rede. Denne Redegørelse findes i Definitioner, som 

 kan være saa fuldstændige, at de selv indeholder de Forudsætninger, som ikke 

 selv bevises, men danner Grundlaget for det derpaa byggede System; men de fore- 

 løbig opstillede Definitioner kan ogsaa indskrænkes til korte Indførelser af de Ord 

 eller andre Symboler, hvortil de nye Begreber skal knyttes; de Egenskaber, som 

 nærmere skal karakterisere disse Begreber og danne Udgangspunktet for den paa- 

 følgende Undersøgelse, fremsættes dernæst i Postulater eller Regler for Operationer 

 og Regninger med de indførte Symboler. 



I dette sidste Tilfælde bliver Postulaterne i logisk Henseende en uundvær- 

 lig Fuldstændiggørelse eller snarere den væsentlige Del af Definitionerne. Som 

 saadanne fremtræder de i Pasch's og hans Efterfølgeres moderne Undersøgelser af 

 Geometriens Grundlag. Og allerede Euklid bærer sig i de fleste Tilfælde ad paa 

 samme Maade. Saaledes er den opstillede Definition paa en ret Linie kun en fore- 

 løbig Indførelse af dette Begreb; men de Egenskaber, som danner Udgangspunktet 

 for den paafølgende geometriske Undersøgelse af den rette Linie og de deraf dan- 

 nede Figurer, fremsættes først i Postulaterne. En lignende Rolle spiller de paa- 

 følgende „Almindelige Begreber", hvoride Kendetegn nævnes, som karakteri- 

 serer Begrebet Størrelse og dets Fremtræden i Geometrien. 



Den her skildrede, om man vil, definerende Rolle spiller de tre Arter af For- 

 udsætninger i det af Euklid opførte System. Hvorfor hver enkelt Forudsætning er 

 medtaget, forklares først ved den Brug, der gøres af den i det derpaa byggede Sy- 

 stem. Der er altsaa ikke nærmest Tale om en Række Forudsætninger, som man 

 nu en Gang har, og el Arbejde paa dernæst at bringe det mest mulige ud af disse 

 Forudsætninger. Rent formelt faar ikke blot Valget af dem, men de selv et vist 

 Præg af Vilkaarlighed, idet der ikke siges et Ord om, hvorfra man har dem. De 

 fremtræder hos Euklid som umiddelbart indlysende, en Opfattelse, som man 

 fra Oldtiden af ogsaa i Filosofien har forbundet med disse Axiom er, som de 



