9 Mathematiken som rationel Videnskab. 207 



kaldes med et mere omfattende Ord. Hvorledes de er fremkomne hos Euklid, 

 hører med til, hvad der skal beskæftige os; men det ses straks, at de er knyttede 

 til en Sum af Erfaringer om den os omgivende, til Rum og Tid bundne. Verden. 

 Derved er det, at den derpaa byggede Lære bliver skikket til at befæste og yder- 

 ligere udvikle Forstaaelsen af den ydre Verden og gøre os denne underdanig. Om 

 Anvendelsen dertil siger Euklid dog slet intet, ja han forlader end ikke sin paa 

 Forudsætningerne byggede almindelige Fremstilling for at give Talexempler eller 

 andre Exempler paa Anvendelse, hverken saadanne, som kunde tjene til Øvelse 

 eller nøjere Forklaring af Sætningerne selv, eller saadanne, som kunde vise den 

 Nytte, som de kan gøre ogsaa udenfor den geometriske Lærebygning. Den eneste 

 Anvendelse, som gøres af de enkelte Sætninger, er Udledelsen af nye almindelige 

 Sætninger, paa hvilke der straks, eller senere hen i Bogen, eller under fortsat viden- 

 skabeligt Arbejde kan bygges videre. 



Denne Form for en rent rationel Behandling fulgtes nøje af Euklids Efterføl- 

 gere. Hvor det — med eller ofte uden Grund — har forekommet disse, at Euklid 

 har brugt en Forudsætning uden at betinge sig Ret dertil ved forud udtrykkelig at 

 opstille den som saadan, har de tilføjet den. Naar de gaar udenfor det af Euklid 

 behandlede Omraade, begynder de med at opstille de for dette Omraade gældende 

 Forudsætninger, som man vil gøre Brug af. Dette gør saaledes Archimedes. 

 Forud for Bestemmelsen af krumme Liniers Længde og krumme Fladers Areal og 

 for sine statiske Undersøgelser forklarer han de nye Begrebers Betydning ved De- 

 finitioner og Postulater, og ogsaa her er Betingelsen for, at man skal følge hans 

 Udvikling og tiltræde hans Slutninger, den, at man anerkender de opstillede For- 

 udsætninger; men heller ikke han siger, hvorfra han har disse. — Paa anden Vis 

 følger man i Nutiden i Hovedsagen den samme Regel, naar man begynder med at 

 opstille Betydningen af de mathematiske Tegn, som man bruger, og Reglerne for 

 Operationer med disse. 



Ved en sajidan udtrykkelig Udtalelse af de Egenskaber, man i sin Undersø- 

 gelse vil tillægge de Begreber, hvormed man vil operere, løsrives disse fra den 

 Sansning, hvoraf de oprindelig er fremgaaede, og kan som Symboler anvendes 

 paa alle de Omraader, hvorpaa de opstillede Forudsætninger passer. Alle Operatio- 

 ner sker nemlig i Kraft af disse Forudsætninger. Uden her at prøve, i hvilket Maal 

 Euklid virkelig maatte have naaet dette, kan vi om den beskrevne principielle 

 Fremgangsmaade sige, at de saaledes indførte ideale Figurer: Punkt uden Udstræk- 

 ning, Linie uden Tykkelse o. s. v.. Linier, hvis Punkter er underkastet en i Ord 

 udtalt Lov, men som ikke nøjagtig lader sig konstruere, lige saa vel kan anvendes 

 som Symboler som den nyere Mathematiks Bogstavsymboler og Operationstegn. 

 Ogsaa Bogstaverne løsrives ganske fra deres Brug som Lydtegn; men de opstillede 

 Regler for de betegnede Operationer maa nøjagtig angives og følges. Saa kan man 

 ved at tillægge Bogstaverne forskellige Talværdier under et underkaste disse de 

 samme Operationer, ja man kan endog som i Operationskalkylen lade Bogstaverne 



n. K. 1). VidensU Selsk. Skr., nnturvidensk. oa ninthem. Afd.. S. RjeUke. I. r.. -o 



