208 II, Kapitel. 10 



betegne forskellige Operationer, naar disse skal underkastes saadanne Kombinationer, 

 paa hvilke de klart udtalte Regler lader sig anvende. 



En saadan exakt Brug af Symboler er væsentlig forskellig fra den Brug, 

 som man gør af Billeder ikke blot i Poesi, men jævnlig ogsaa i filosofiske Un- 

 dersøgelser. At denne sidste Brug kan gøres med Haab om et rigtigt Udbytte, be- 

 ror paa, at der er nogen Sandsynlighed for, at den Overensstemmelse, som ligger 

 til Grund for Valget af Billedet kan være forbunden med saadanne fælles om end 

 ukendte Aarsager, som fører til ensartede Resultater paa begge Omraader: Billedet 

 og det Afbillede. Deri ligger Analogislutningens Berettigelse som en foreløbig Slut- 

 ningsmaade, der rigtignok trænger til yderligere Bekræftelse. En tilsvarende bil- 

 ledlig Brug gør man af den exakte Videnskabs Symboler, naar man anvender dem 

 udenfor det Omraade, for hvilket Operationer med Symbolerne er strengt define- 

 rede, naar man f. Ex. gør almindelige Slutninger fra en tegnet Figur uden at sikre 

 sig, at de om denne anstillede Betragtninger gælder for alle de ideale Figurer, 

 som den skal fremstille, eller naar man anvender littérale algebraiske Operationer, 

 hvis Betydning kun er sikret for hele, eller positive, eller rationale, eller reelle, 

 eller endelige Størrelser, paa henholdsvis brudne, negative, irrationale, imaginære, 

 uendelig store eller smaa Størrelser eller paa uendelig mange. Historisk var op- 

 rindelig den littérale Algebra kun forklaret for rationale og positive Størrelser. 

 Udenfor dette Omraade var dens „Symboler" kun, hvad vi her har kaldt „Billeder", 

 hvis Brug dog gennem „Analogislutninger" kunde føre til rigtige Resultater, som saa 

 bagefter trængte til en nærmere Forklaring. Dette gjaldt f. Ex. om F"orklaring af 

 en funden negativ Rod i en Ligning. En udtrykkelig Udvidelse til irrationale Stør- 

 relser gav først Descartes i Begyndelsen af La Géométrie, og dens Exakthed sikrede 

 han ved Henvisning til den, som de Gamle forlængst havde opnaaet for deres geo- 

 metriske Symboler. Exakt blev Anvendelsen af Algebraens Symboler paa imaginære 

 Størrelser først omkring Aaret 1800, da Wessel, Argand og Gauss gav en nøjagtig 

 Bestemmelse af, hvad Operationerne i dette Tilfælde betyder. Og Mathematikens 

 Historie viser, at Anvendelsen af Algebraens Symboler paa uendelig store eller smaa 

 Størrelser og paa uendelig mange Størrelser kan føre til urigtige Resultater. Derfor 

 har de maattet underkastes nye Regler for ogsaa her at kunne faa en exakt An- 

 vendelse. 



Det blev lige berørt, al ogsaa den gamle Geometri kunde faa en symbolsk An- 

 vendelse. Den har faaet en saadan til exakt og almindelig Fremstilling af algebra- 

 iske Operationer og Resultater. Lige saa tidlig, som man kendte den pythagoreiske 

 Sætning, har man vidst, at naar Siderne i en retvinklet Trekant kan udtrykkes 

 ved hele Tal a, b og c, kan man give Sætningen to forskellige Former, nemlig: 

 a^-\-b-' = c^, og: Summen af Kvadraterne med Siderne a og b er ligestor med Kva- 

 dratet med Siden c. Da man imidlertid opdagede, at, som vi nu siger, V2 er ir- 

 rational, var kun den sidste Udtryksmaade mulig, naar Trekantens Katheter er 

 ligestore. For at undgaa den Vanskelighed, som i den arithmetiske Bestemmelse 

 nu overvindes ved en Udvidelse af Talbegrebet med saadanne irrationale Tal som 



