11 Mathematiken som rationel Videnskab. 209 



V2, kunde man holde sig til den geometriske Maade at udtale den samme Sætning 

 paa. Lignende Vanskeligheder undgik man ved ikke at tale om Multiplikation af 

 lo almindelige Tal, thi en saadan Operation var ikke forklaret, naar Tallene var 

 irrationale; men man fremstillede Størrelserne ikke ved Tal, men som Liniestykker, 

 og i Stedet for Multiplikation af de to Størrelser blev da sat: Dannelse af et Rekt- 

 angel med disse til Sider. En Ligning, hvis Led alle er af anden Grad med Hen- 

 syn til de deri indgaaende Størrelser, blev da en Relation af første Grad mellem 

 Rektangler, og den videre Behandling af Ligningerne foregik ved Omlægning af 

 saadanne plane Figurer. Denne geometriske Algebra var før Platon's Tid saa vidt 

 udviklet, at man ved de omtalte Symboler kunde fremstille en Løsning af Lignin- 

 ger af anden Grad paa en Maade, som er lige anvendelig, hvad enten de givne og 

 søgte Størrelser kan udtrykkes ved rationale Tal eller ikke; i første Tilfælde er 

 Ligningen numerisk. Ved Anvendelse af retvinklede Parallelepipeder, derunder spe- 

 cielt Terninger, kunde man paa lignende Maade fremstille Udtryk og Ligninger af 

 Iredie Grad med Hensyn til de deri indgaaende Størrelser. Videre kunde man gaa 

 ved at anvende Proportioner, ved hvis Sammensætning man kunde fremstille Pro- 

 dukter af lige saa høje Grader, som man vilde. De Forliold, man først havde be- 

 handlet, var rigtignok kun Forhold mellem kommensurable Størrelser; men Eudoxos 

 viste, hvorledes man ogsaa paa exakt Maade kunde udtrykke Ligestorhed og Ulige- 

 slorhed af Forhold mellem inkommensurable Størrelser. Den derpaa grundede al- 

 mindelige Proportionslære er fremsat i Euklid's V. Bog. Derved benyttes et Po- 

 stulat (V. Def. 4), der ogsaa tillader Behandlingen af Opgaver, som gaar ud paa 

 infinitesimale Bestemmelser. 



Kap. III. 

 Platon's Krav til Mathematiken som rationel Videnskab. 



Pythagoreernes Opdagelse af, at der overhovedet gives irrationale Størrelser, 

 det dermed forbundne Krav om ikke uden videre at overføre paa irrationale Størrelser, 

 hvad man ved om rationale, et Krav, som traadte tydelig frem ved Zenon"s Nægtelse af 

 Kontinuiteten, den geometriske Algebras Omgaaen og Eudoxos' Løsning af denne Van- 

 skelighed, Theodoros' og Theaitetos' systematiske Efterforskning af, hvilke Størrelser 

 der er rationale og hvilke irrationale, alt dette viser, hvor dybtgaaende Krav Hellenerne 

 allerede længe før Platons Tid var begyndt, og paa hans Tid vedblev at stille til en 

 exakt og almindehg Behandling af Geometrien og gennem den af Algebraen. Disse 

 Krav maatte yderligere forøges ved saadanne Fremskridt i positiv Viden som dem, 

 der vandtes ved Hippokrates' geometriske Arbejder, ved Demokrits Bestemmelse 



28* 



