210 III. Kapitel. 12 



af Pyramidens og Keglens Rumfang og ved Opdagelsen af, at der ikke gives uende- 

 lig mange Slags regulære Polyèdre som uendelig mange Slags Polygoner, men kun 

 fem. Det ses ogsaa, at man paa forskellig Maade var inde paa Veje til at imøde- 

 komme disse Krav.') Paa en fuldt ud tilfredsstillende Maade kunde dette dog først 

 ske ved en konsekvent Opførelse af en Lærebygning af den logiske Form, som er 

 skildret i forrige Kapitel. Uden det vil Geometrien beslaa af en mere eller mindre 

 tilfældig Blanding af Resultater vundne ved Intuition og saadanne, som man deraf 

 tiar udledet ved rigtige Slutninger. Dette maa saaledes have været Tilfældet med 

 de Elementer, som allerede Hippokrates siges at have skrevet. 



Den forstandsmæssige Side af Mathematiken vakte i høj Grad Platon's In- 

 teresse. Denne gjaldt ikke mindst de irrationale Størrelser; den Egenskab, der skil- 

 ler dem fra de rationale, træder nemlig, naar de fremstilles geometrisk, slet ikke 

 frem for Intuitionen og har ingen Betydning for praktiske Anvendelser, i hvilke en 

 tilstrækkelig nær Tilnærmelsesværdi er lige saa god som den mathematisk exakte 

 Værdi. Den er saaledes kun til for den forstandsmæssige Behandling af Mathema- 

 tiken og maatte netop derfor interessere Platon. I „Lovene" bebrejder han sine 

 Landsmænd, at de ikke tidligere har bemærket, at der existerer saadanne Størrel- 

 ser, og i „Theaitet" fremhæver han denne Mathematikers Fortjenester af Paavis- 

 ningen af, hvilke Rodstørrelser der er irrationale. Den systematiske Maade, hvorpaa 

 Bestemmelsen heraf, i Overensstemmelse med Theodoros' Indførelse af Begrebet in- 

 kommensui-able Størrelser, sker ved Tilknytning til Methoden til at finde største 

 fælles Maal (Oversigt, 1910 og 1915), har aabenbart vakt hans Beundring. Ikke 

 mindst paa dette Punkt nærmer Mathematiken sig til at realisere hans Ideal af en 

 Videnskab, der helt opføres efter rationelle") Grundsætninger; ja dette Ideal er vel 

 for en Del blevet til ved Betragtning af, hvad han allerede forefinder i Mathema- 

 tiken. Hans og hans nærmeste Efterfølgeres Bestræbelser efter at opnaa det samme 

 for andre Videnskaber træder frem i hans og deres Forsøg paa at føre Egenskaber 

 ved Tal og ved Figurer ind i Forklaringen af andre Naturforhold, hvori han iøv- 

 rigt følger Pythagoreernes Exempel. Herhen hører det gaadefulde saakaldte Mathe- 

 matiske Tal, der efter de fremkomne Løsninger af Gaaden næppe har frembudt 

 synderlig mathematisk Interesse, og Speusippos' Anvendelser af de arithmetiske 

 Forbindelser mellem Tallene 1 — 10, hvis matheniatiske Interesse kun knytter sig 

 til den Omhu, hvormed man har fremhævet de allersimpleste Talforbindelser; end- 



') Jeg henviser til mine Afhandlinger i Kgl. Danske Vid e nslcabernes Selskabs Oversigt: 

 Sur la constitution des livres arithmétiques des Elements d'Euclide et leur rapport ù la question de 

 l'irrationalité. 1!)10. Sar les connaissances géométriques des Grecs avant la réforme platonicienne de 

 la géométrie. 1913. - Sur l'origine historique de la connaissance des quantitcs irrationelles. 1915. — 

 Citeres som: Oversigt 1910, 1913, 1915. 



'-) Den paa dansk (og tyski gældende Sprogbrug er her for saa vidt mindre heldig, som rational 

 og rationel kommer til at betyde ganske forskellige Ting. Ovenfor kunde man saaledes have sagt: 

 Det, der karakteriserer irrationale Størrelser, er kun til for en rationel Betragtning. Stort bedre bli- 

 ver det ikke, naar man paa fransk, hvor rational kaldes .rationnel", kan udtrykke det, vi her har kaldt 

 rationel, ved „raisonné". 



