99 



VinUelbegieliets Opstaaen 



297 



At, idet vi fuldstænriiggor Figuren som paa Fig. 11, Vinklerne ved Grundlinien 

 i Trekant OAB er ligestore med Vinklerne ved Grundlinien i Trekant OCÜ, kan 

 man dernæst slutte, idet man nu ogsaa benytter den tredie Sætning, som Eudemos 

 tillægger Thai.es, nemlig at Topvinklerne ved O i disse to Trekanter er ligestore 

 Saa maa han dog tillige tillægge Thales Kendskab til endnu en Sætning, nemlig 

 enten, at Summen af Vinklerne i hver af disse to Trekanter er lig to rette, eller 

 at de to Trekanter, naar man ved, at de nævnte Topvinkler samt deres Ben er lige- 

 store, kan bringes til Dækning. Kendskab til Sætningen om Vinkelsummen tillæg- 

 ger Eudemos dog først Pythagoreerne, og han kunde ikke have overset det, hvis 

 Thales efter hans Restitution af dennes Bevis maatte have benj'ttet denne Sætning. 

 Derimod kan han have betragtet Muligheden af at bringe Trekanterne til Dækning 

 som en simpel Følge af, at de vil følge med lo Halvcirkler, som kan bringes til 

 Dækning. Paa lignende Maade bliver de 4 Vinkler ved Grundlinierne i Trekanterne 

 DOA og BOC ligestore, og deraf vil følge, at alle fire Vinkler i Firkanten er ligestore, 

 At de da maa være rette, er ikke en Anvendelse af Sætningen 

 om Vinkelsummen i en Trekant eller en Firkant, men tvært- 

 imod, som vi har set, et oprindeligt Kendetegn paa rette 

 Vinkler. Trods sin egen mathematiske Skoling kan ogsaa 

 Eudemos have faaet Blik herfor ved sine Studier af den 

 ældre græske Mathematik, hvilke Kilder han nu har haft 

 til sin Raadighed. 



Paa denne Maade ser vi, at, naar Eudemos vilde til- 

 lægge Thales Kendskab til de Sætninger, som han selv ved 

 en Analyse fandt at ligge til Grund for den Konstruktion af 

 Rektangler og relie Vinkler, som tillagdes ham, og tage saa- 

 danne, som fandtes i de da foreliggende Elementer, var intet Valg naturligere end 

 det af de Sætninger, som vi har opstillet som 1., 2. og 3. Naar derved kunde und- 

 væres en Henvisning til, at Summen af Vinklerne i en Trekant er to rette, beroede 

 det dog paa, at en Anvendelse heraf kun blev undgnael ved netop at bestemme 

 rette Vinkler som saadanne, der forekommer som Vinkler i en Firkant med lutter 

 ligestore Vinkler. Skærer man derimod den ene Halvcirkel og med den den ene af de 

 to Trekanter, hvoraf Firkanten beslaar, bort, og vil man saa bevise Sætningen om 

 den anden Trekant, maa man paa denne anvende Sætningen om Vinkelsummen i 

 en Trekant. Derved kommer man omtrent lil det Bevis, som findes i Euklid 111,31.'). 



Fig. n. 



• Om det direkte Bevis for Thales' Sætning, som maaske har været at finde i Theudios' Ele- 

 menter, faar man ikke tilstrækkelige Oplysninger i den Begrundelse, som Aristoteles omtaler S. 94^28 

 og 10.'>la26. Det vilde, saavidt man kan se, falde sammen med Euklid's, naar dette udelukkende an- 

 vendes paa et særlig simpelt Tilfælde, nemlig en ligebenet retvinklet Trekant. At Heiberg dog deri 

 (Mathematisches zu Ahi.stoteles S. 21) kan tro at se Theudios' Begrundelse af den almindelige Sætning 

 om Periferivinkler i en Halvcirkel, maa bero paa en Forudsætning om, at Theudios ligesom Euklid 

 forud skulde have bevist, at Periferivinkler paa samme Bue er ligestore, og at han derfor kan nøjes 

 med at betragte en af Periferivinklerne paa samme Bue. Den nævnte Forudsætning er imidlertid hos 

 Euklid netop ikke forud bevist om PeriferivinklcT paa en Halvcirkel. Sætning 111,20., at en Periferi- 



39* 



