298 X Kapitel. 100 



Her er jeg gaaet ud fra, at Thales virkelig har Ikendt den saakaldte „Thaies' 

 Sætning", som vi har betegnet som Nr. 4. Har han derimod, som M. C. P. Schmidt 

 antager'), ikke gjort det, eller har Eudemos ikke kendt andre Konstruktioner af 

 ham, der i Eudemos' Øjne vidner om Kendskab til 1.— 3., som man paa dennes egen 

 Tid udtrykkelig opstillede som Sætninger, maa allerede Thales have fundet det hen- 

 sigtsmæssigt udtrykkelig at udtale Sandheder, om hvis Rigtighed ingen, der har 

 haft med Cirkler, skærende Linier eller ligebenede Trekanter at gøre (f. Ex. Byg- 

 mesteren af den Gavl, som har gjort Thales opmærksom paa disse) vil have næret 

 nogen Tvivl. I saa Fald vilde Thales have gjort mere, end vi har turdet tillægge ham, 

 nemlig det første Skridt til en theoretisk Behandling af Geometrien ; han vilde da være 

 den, som for at give saadanne Sandheder Udtryk har indført Vinkelbegrebet, dog 

 begrænset til ligedannede (ligestore) Vinkler, og Sætningerne 2. og 3. vilde da være 

 bevarede Exempler paa hans Anvendelse af dette Begreb. 



Det saaledes begrænsede Vinkelbegreb har i intet Tilfælde ladet vente længe 

 paa sig, og den dertil knyttede Sammenligning af ligestore Vinkler maatte snart 

 udvides lil en kvantitativ Sammenligning af uligestore. Man maatte se, at naar 

 ligestore Vinkler ligger som Sidevinkler, kan de adderes, og 

 saasnart man tillige har begyndt i Stedet for Rektangler at 

 betragte de retvinklede Trekanter, hvori et saadant deles ved 

 en Diagonal, saa vil man ikke have været i Tvivl om, at 

 Summen af de spidse Vinkler i en saadan Trekant er en ret 



„. ,„ Vinkel, eller at Summen af alle denne Trekants Vinkler er to 



Fig. 12. 



rette. Herfra er Springet ikke langt til som paa Fig. 12 at 

 dele en vilkaarlig Trekant i to retvinklede ved Højden paa en af Siderne og derved 

 finde, at ogsaa Summen af Vinklerne i enhver Trekant er lig to rette. Denne Be- 

 grundelse findes, som M. Cantor har gjort opmærksom paa '), i en Bog, der vel 



vinkel er halv saa stor som Centervinklen paa samme Bue, kan nemlig efter den foreliggende Begrun- 

 delse umiddelbart kun finde Anvendelse paa spidse Periferivinkler; thi for rette eller stumpe Vinkler 

 vilde den tilsvarende Centervinkel ikke falde ind under det euklidiske Vinkelbegreb. At Euklid kun 

 tænker paa Vinkler, som er mindre end to rette, fremgaar nemlig allerede af deres Inddeling i rette, 

 stumpe og spidse i I. Bogs Definitioner 10.— 12. Sætning 111, 21., at Vinkler i samme Afsnit er lige 

 store, er altsaa endnu kun bevist for spidse Vinkler, altsaa naar det omskrevne Afsnit er storre end 

 en Halvcirkel; Sætning 111,22. udvider den dog straks til ogsaa at gælde for Vinkler i et Afsnit, som 

 er mindre end en Halvcirkel, idet det bevises, at Summen af de modstaaende Vinkler i en Firkant ind- 

 skreven i en Cirkel er to rette. 1 Beviset anvendes vel 111, 21 , men saaledes at man kan lade det være 

 spidse Vinkler, hvorpaa den anvendes. Et fuldt gennemfort formelt Bevis for, at Periferivinklerne i en 

 Halvcirkel er ligestore, foreligger altsaa endnu ikke, og derfor kan Euklid i det i 111, 31. givne Bevis 

 ikke indskrænke sig til ved Betragtning af det hos Ahistoteles omtalte specielle Tilfælde at bestemme 

 en fælles Værdi for disse Vinkler, men han beviser direkte, at enhver saadan Vinkel er ret. I Reali- 

 teten naar han saaledes alt trods den mindre heldige Ordning af disse Sætninger. 



') Se S. 29-41 i det (S. 64 (262)) anførte Skrift. Man vil iøvrigt bemærke, at Schmidt i Vurde- 

 ringen af de forskellige Fremskridt mere ser paa deres Bidrag til Euklids færdige synthetiske System 

 end tager saadanne psykologiske Hensyn, som jeg i nærværende Skrift har ment at maatte gøre 

 gældende. 



■-) Vorlesungen über Geschichte der Mathematik 1, (3. Auflage), S. 144. 



