101 Vinkelbegrebets Opstaaen. 299 



skyldes en anonym Landmaaler fra X. Aarhundrede efter Chr., men som er udskreven 

 efter virkelig gamle Mønstre. 



Det saaledes fundne Bevis afviger iøvrigt ikke saa meget, som det i første Øje- 

 blik kunde sj'nes, fra det, som Eudemos tillægger Pythagoreerne (Proklos S. 379). 

 Dette kan tværtimod være fremgaaet af hint ved en meget naturlig Udvikling. Lige- 

 som Begrebet rette Vinkler oprindelig har været knyttet til Rektangler, saaledes er 

 det nemlig ogsaa gaaet med Paralleler, og Thales' udførlig omlalte Konstruktion 

 har ligesaavel været en Konstruktion af Paralleler som af rette Vinkler. Betragtning 

 af Diagonalen i et Rektangel viser da Ligestorheden af de indvendige Vekselvinkler, 

 som en ret Linie danner med to Paralleler, som den overskærer. Fig. 12, der an- 

 skuelig fremstiller den Begrundelse, som vi antager for den ældste, vil da, naar vi 

 borttager de tre lodrette Linier, umiddelbart gengive det af Eudemos anforle pytha- 

 goreiske Bevis. I dette drages gennem C en Linie parallel med AB. Da er 

 ifølge den anførte Egenskab ved Paralleler de to med « betegnede Vinkler begge lig 

 Trekantsvinklen A, de med ß betegnede lig Trekantsvinklen B, og det viser sig, 

 at A -}- C ^ B = to rette. Og dette er netop det Bevis, som Eudemos tillægger 

 Pythagoreerne. 



Den Maade, hvorpaa vi her kommer til Sætningen om Vinkelsummen, afviger 

 derimod fra en ved Eutokios overleveret ') Beretning af Geminos, efter hvilken Sæt- 

 ningen først skulde væj'e vist for ligesidede, dernæst for ligebenede og dernæst for 

 uligebenede Trekanter. Denne tilsyneladende historiske Meddelelse turde imidlertid, 

 som Heiberg bemærker^), bero paa en Misforstaaelse af en rent logisk Betragtning 

 hos Aristoteles. Denne bruger nemlig oftere og navnlig 74" 25 det nævnte Exempel 

 fra Trekanter til at oph'se, at det er at foretrække at bevise en almindelig Sætning 

 ved Argumenter, som paa en Gang gælder alle Tilfælde, for at bevise de enkelte 

 Tilfælde hvert for sig, selv om man ogsaa saaledes kan faa bevist, at den virkelig 

 gælder i alle Tilfælde; men han siger ikke noget om, at det skulde være gaaet saa- 

 ledes til ved den historiske Opdagelse af Sætningen. Havde Geminos haft sin Op- 

 lysning fra en virkelig historisk Kilde som. Eudemos, vilde Proklos vel heller ikke 

 have undladt at medtage den i sin Kommentar"'). 



I det mindste fra Oinopides af kunde man konstruktivt flytte Vinkler, derved 

 addere og subtrahere dem og multiplicere dehi med hele Tal. Dermed var ogsaa 

 den Opgave at dividere dem med et helt Tal stillet, og en dertil tjenende Kurve, 



') Apollonios ed. Heiberg II, S. 170. 



'] Mathematiscbes zu Aristotf.les S. 20. 



^) Naar Geminos ikke ligefrem oser af ældre historiske Kilder som Eudemos, maa man netop paa 

 Grund af hans starre Selvstændighed i Fremhævelsen af det, der netop ligger ham paa Sinde, bruge 

 hans historiske Oplj-sninger med en vis Varsomhed. Saaledes har det været en uheldig Genvej til at 

 finde de Fremskridt, som i Keglesnitslæren særlig skulde skyldes Apollonios, at se hen til Geminos' 

 korte Omtale af Apollonios' nye Udgangspunkter i Stedet for at søge det ved det ganske vist vidtløf- 

 tigere Studium af Archimedes' Skrifter og Apollonios' Keglesnitslærc selv. Gor man dette sidste, vil 

 man derved ogsaa faa fat paa den rette Betj'dning og Begrænsning af Geminos' Bemærkninger om det 

 sidstnævnte Værk. (Se min Keglesnitslæren i Oldtiden, 2. Afsnit). 



