300 X Kapitel. 102 



som i all Fald kunde give en Iheoietisk Opløsning, nemlig Hippias' Kvadratrix, 

 blev lidlig udlænkt. En praklisk Halvering ved Lineal og Passer lurde dog være 

 ældre; den egnede sig ogsaa, men uden at disse Redskaber nævnes, til Oplagelse 

 paa sit Sled (se forrige Kapitel) i Eukmd's Elementer. Da del ikke l\'kkedes al 

 tredele Vinklen ved Lineal og Passer, har man udlænkt forskellige Maader al lose 

 denne Opgave paa ved en Indskydning {nsûaiç), og da Brugen af delte Hjælpemid- 

 del ikke hjemledes ved Euklid's Postulater, niaalte for denne Opgave Brugen af 

 Keglesnit blive obligatorisk fra den Tid af, da man havde godkendt disses Anven- 

 delse til Konstruktion af to Mellemproporlionaler. 



De her omtalte Konstruktioner vedrører kun Vinkler mellem rette Linier. Om 

 saadanne Vinkler har vi iøvrigl i Kap. VIII set, at den kvantitative Betydning af 

 det i Dcf. 9. foreløbig indførte Vinkelbegreb, som af andre geometriske Størrelses- 

 bestemmelser, gives i „Almindelige Begreber" 7. og 8., men at man for at benytte 

 denne uden mekanisk Flytning, maatle støtte sig til en konstruktivt anvendelig 

 Bestemmelse af lige store Vinkler, nemlig som ensliggende Vinkler i Trekanter med 

 ligestore Sider. Retlinede Vinkler er dernæst delagtige i det 

 Kendetegn, som Euklid i V. Def. 4. opstiller paa Størrelser, 

 paa hvilke den i denne Bog indeholdte almindelige Propor- 

 lionslære, som i Virkeligheden er en almindelig Størrelseslære, 

 skal kunne anvendes; thi ogsaa om dem gælder det, at en 

 Vinkel „ved at mangfoldiggøres kan overgaa" en anden Vinkel. 

 Derfor kan Euklid ogsaa i VI, 33. føre et almindeligt Bevis 

 for, at retlinede Vinkler er proportionale med de Buer, til 

 hvilke de i samme eller ligestore Cirkler er Centervinkler eller 

 ^^"'8- "• Periferivinkler. 



Forudsætningen for Proportionalitet gælder derimod ikke, naar den ene Vinkel 

 er krumlinel eller blandetlinet, den anden retlinet. Af Sætning III, 16., hvori del 

 udtales, at i el Punkt af en Cirkelperiferi ingen ret Linie kan drages i Mellemrum- 

 met mellem den Linie, som staar vinkelret paa Diameteren til dette Punkt (allsaa 

 Tangenten), og Periferien, fremgaar, al Tangentens Vinkel med Periferien er mindre 

 end enhver retlinet spids Vinkel. Om den gælder allsaa ikke, al den „ved al mang- 

 foldiggøres kan overgaa" en given retlinet Vinkel. En saadan „hornformet" Vinkel 

 har allsaa intet Forhold til en retlinet Vinkel. Dens Behandling gaar allsaa ikke 

 ind under Euklid's almindelige Størrelseslære i V. Bog; det samme vil gælde om 

 andre Vinkler mellem hinanden skærende rette Linier og Cirkelbuer eller saadanne 

 indbyrdes; thi disse er Summer eller Differenser af retlinede og hornformede Vink- 

 ler. Da nu disse sidste ifølge III, 16. er forsvindende i Sammenligning med de før- 

 ste, vilde det have været rigtigst af Euklid, da han dog heller ikke anstiller nogen Sam- 

 menligning mellem hornformede Vinkler indbyrdes, i Stedet for om Vinklerne mel- 

 lem krumme Linier udelukkende at tale om Vinklerne mellem disse Liniers Tan- 

 genter. Naar han dog ikke indskrænker sig dertil, men taler om el Afsnits eller en 

 Halvcirkels Vinkler uden f. Ex. at sige, at disse sidste er rette, giver dette endog 



