103 Vinkelbegrebets Opstaaen. 301 



Anledning til en formel Selvmodsigelse. At sige i III. Def. 11., at ligedannede Cirkel- 

 afsnit er saadanne, hvis Vinkler (o: Buens med Korden, III, Def. 7.) er ligestore, 

 staar saaledes (se Fig. 13) i formel Strid med I Alm. Begr. 8., som siger, al en Del 

 er mindre end det hele. Euklid har imidlertid paa dette som andre Punkter be- 

 varet Begreber, som han dog ikke gør nogen virkelig Brug af. 



Euklid's III, 16. indeholder i Virkeligheden Forklaringen af denne Selvmod- 

 sigelse og forbj'der ham at anvende den almindelige Størrelseslære i V. Bog paa 

 krumlinede Vinkler; men den berørte Selvmodsigelse peger hen paa en Uklarhed, 

 som oprindelig maa have været tilstede i den intuitive Opfattelse af krumlinede 

 Vinkler, af hvilke man, som vi har set, før ham har gjort mere omfattende Brug. 

 Psykologisk beror den tildels paa en Sammenblanding af de to til Grund liggende 

 Synsoplevelser af en Vinkel som Konturvinkel eller som Fladevinkel. Den første 

 gives der Udtryk i Euklid I, Def. 8., naar det siges, at Vinklen er Heldningen (x/Jacç) 

 af det ene rette eller krumme Ben mod det andet, den sidste, naar „Alm. Begreber" 

 7.-8. lægges til Grund for Sammenligningen mellem Vinklers Størrelser, og naar 

 disse subtraheres som i det efter Aristoteles anførte Bevis, S. 98 (296). Kun for 

 retlinetie Vinkler vil de to Betragtninger give samme Besultat. 



Det er ogsaa den .sidste Opfattelse, som Rubin lægger til Grund for sine For- 

 søg paa experimentalt at bestemme den retlinede Vinkel, som vil synsopleves som 

 ligestor med en forelagt krumlinet Vinkel. Man vil være udsat for, at Forsøgsper- 

 sonerne trods al Instruktion vil gøre sig skyldige i den samme Sammenblanding 

 af Konturvinkel og Fladevinkel, som vi talte om, og Spørgsmaalet er i det hele saa 

 kompliceret, at Besvarelserne paa Grund af forskellig Opfattelse af Instruktionerne 

 og forskellig Sansning rimeligvis vil blive ret individuelle. At den sidste Forskel- 

 lighed vil gøre sig gældende, ses ved at reducere Spørgsmaalet til det rent fysio- 

 logiske om Sansning med et enkelt Øje, der fra given Afstand ser i en given 

 Retning. 



Vi vil antage, at Øjet befinder sig i given Afstand fra Vinklens Plan, lodret 

 over Vinkelspidsen, og at det ser lige ned mod denne, og at a er Radius i den Cir- 

 kel, som Øjet da overhovedet kan sanse i Planen '). I denne bruger vi polære Koor- 

 dinater med Polen i Vinkelspidsen og antager, at Vinkelbenene er bestemte ved 

 Ligningerne f^ = <f (r) og t^=^cu{r). Ved f(r) vil vi betegne den Tydelighed, hvor- 

 med man vilde se et Element af Størrelsen 1., hvis dette kunde koncentreres i Af- 

 standen r. Da vil vi kunne bestemme Vinklen u opfattet som Fladevinkel ved 

 Integralet 



'' = l'/'('-)(v''('-) - <f{r))rdr. 

 Dette vil føre til den sædvanlige Bestemmelse af Forholdet inellein retlinede 



') Vi gor den rent fysiologiske Forudsætning, at baade denne Flade er en Cirkel, og at de lige 

 tydelig sansede Punkter af denne ligger paa koncentriske Cirkler; om denne Forudsætning er rigtig, 

 maa kunne undersøges ved at prove de deraf afledede Besultater. Er den det ikke, kompliceres For- 

 holdene yderligere. 



