260 VII. Kapitel. 62 



omlale i næste Kapitel, overvundet de store Vanskeligheder, som Dannelsen af 

 Grundlaget for en saadan Behandlingsmaade volder, og i Slutningen har han bevist 

 de for den geometriske Algebra nødvendige Arealsætninger, derunder den pythago- 

 reiske. En konstruktiv Behandling af de Rektangler og Kvadrater, hvormed den 

 geometriske Algebia opererer, kan derfor ikke volde ham nogen alvorlig Vanske- 

 lighed i II. Bog; men det er dog herpaa og paa dennes omhyggelige Udførelse, 

 Hovedvægten lægges. I 4. er det f. Ex. Konstruktionen af Gnomonfiguren og Be- 

 viset for, at de enkelte dannede Figurer er Rektangler og Kvadrater, som lægger 

 Beslag paa Forfatterens Omhu. Den logiske Sammenhæng med de euklidiske De- 

 finitioner fastholdes ved Opstilling af Sætningerne 2. og 3., som nærmest er spe- 

 cielle Tilfælde af 1. Denne indeholder nemlig den geometriske Fremstilling af 

 a {b ^ c -\- d . . .) ^ ab -{- ae -\- ad . . ., hvor alle Produkterne er Rektangler mellem 

 samme Paralleler. I 2. og 3. vises det samme i særlige Tilfælde, hvor et af Rekt- 

 anglerne er ombyttet med et Kvadrat; thi Rektangler og Kvadrater har hver sin 

 Definition, saa de sidste ikke opfattes som specielle Tilfælde af de første ; maaske 

 har den ældre geometriske Algebra ogsaa gjort særlig Brug af 2. og 3. 



Paafaldende er det, at, som Heath gør opmærksom paa (I, S. 377), de 10 før- 

 ste af Bogens 14 Sætninger trods deres nære Sammenhæng bevises helt uafhængig 

 af hinanden i stærk Modsætning til Euklid's synthetiske Behandling af de øvrige 

 Bøger. Det turde hidrøre fra, at EuKLm i disse 10 Sætninger, der særlig ligger til 

 Grund for den geometriske Algebra selv, vil vise, at hans Behandling af Geome- 

 trien kan give hver af dem og de anskuelige Figurer, hvorved man udtrykte dem, 

 et fast rationelt Grundlag, men her ikke bekymrer sig om deres indbyrdes Sam- 

 menhæng. Da flere af disse Sætninger ikke bruges i det følgende, er disse endog 

 kun medtaget af Hensyn til de Anvendelser, som man alt forstod at gøre, og som 

 han ikke nævner. Jeg har saaledes i 1. Afsnit af „Keglesnitslæren i Oldtiden", vist 

 at Sætningerne ') 9. og 10. laa til Grund for den sukcessive Dannelse af de fra Py- 

 thagoreernes Tid kendte Kædebrøkskonvergenter til l/2, og deres virkelige Sam- 

 menhæng med disses Bestemmelse er bekræftet ved Kroll's senere udkomne Ud- 

 gave af Proklos' Kommentar til Platon's „Stat". Det er ogsaa let at paavise den 

 Anvendelse, man har gjort af Sætning 8., nemlig til Bevis for den Løsning i hele 

 Tal af Ligningen .r" -|- y' = z'\ som man har tillagt Platon. Allerede den simple 

 Gnomonfigur vil, naar man tager hele Tal til Kvadratsider og giver Gnomon Bred- 

 den 1., vise, at de ulige Tal er Differenser mellem to paa hinanden følgende Kva- 

 drattal, og at saaledes de ulige Kvadrattal giver en Løsning af Ligningen, nemlig 

 den pythagoreiske. Den platoniske vilde vel faas ved Gnonombredden 2; men det 

 samme opnaas i Sætning 8. ved dels indenfor, dels udenfor samme Kvadrat at lægge 

 en Gnomon med Bredden 1. Sætningen, hvis geometriske Form i umiddelbar Over- 

 sættelse til det nuværende algebraiske Sprog vilde lyde 



') Mon man iøvrigt ikke før Euklid skulde liave aflæst disse Sætninger af samme Figur, som 

 benyttes i 8.? Dette forekommer mig at have ligget den geometriske Algebra nærmere. (Se Hraïh I 

 S. 394). 



