270 VIII. Kapitel. 72 



er sproglig betegnet ved her ikke at bruge Ordet lipapfiû^siv, hvis Anvendelse ikke 

 er hjemlet ved Postulater og tidligere Konstruktioner, men det samme Ord „lægge" 

 {u&évac), som i Sætning 2. er knyttet til Forlæggelsen af et Liniestykke til et Sted, 

 hvor det faar et nyt givet Endepunkt, og hvorfra det ved en Cirkel kan drejes ind 

 paa en given Linie. Dette er blevet muligt derved, at allerede Definition 1, 15. paa 

 en Cirkel indeholder en Forudsætning om Størrelse. I at fuldføre Konstruktionen 

 mangler endnu en Konstruktion af en given Vinkel med et givet Toppunkt og Ben 

 og liggende til en given Side af dette. Denne Konstruktion sættes Euklid dog først 

 i Stand til at udføre ved Hjælp af senere Sætninger, der støtter sig paa selve den 

 i 4. beviste Sætning. 



Denne Ordning staar i Strid med den Fordring, som synes at maatte knytte 

 sig til Menaichmos' Anvendelse af Problemer med deres Konstruktioner som Beviser 

 for Existensen af de Figurer, man undersøger eller benytter. De maa antages at 

 skulle gaa forud for Anvendelser af disse Figurer og for de Theoremer, der udtrykker 

 deres Egenskaber. Saaledes gør Euklid ogsaa, naar han f. Ex. ved Konstruktion viser 

 Existensen af et Liniestykkes Midtpunkt, før han benytter det. Og vi skal snart se 

 historiske Beviser for, at man virkelig fastholdt denne Fordring. Dens logiske Be- 

 rettigelse ses ogsaa i det her foreliggende Tilfælde, idet der først bevises, at 4. er 

 rigtig, hvis man er i Stand til konstruktivt at udføre den i Beviset benyttede „An- 

 bringelse", og saa dog den dertil tjenende Konstruktion beror paa Sætninger, der 

 bevises ved Hjælp af 4. Dette er en Cirkelslutning; men det er allerede noget, at 

 denne logiske Cirkel af sig selv lukker sig. Derved er man sikret imod at indvikle 

 sig i nogen Modsigelse ved i Beviset for 4. al forudsætte Muligheden af en „An- 

 bringelse" eller Flytning, og ved her at gaa ud fra denne blotte Mulighed at ud- 

 lede den P'remgangsmaade, hvorved den skal virkeliggøres. Antagelsen af denne 

 Mulighed er imidlertid en Forudsætning om, at „Rummet" er saaledes beskaffent, 

 at det tilsteder en saadan Flytning, at visse Størrelser „Flytningsinvarianter" : Af- 

 stande, Vinkler og Arealer bliver uforandrede, eller at, som vi nu siger. Rummet 

 har et „konstant Krumningsmaal". Forudsætningen er saaledes et virkeligt Postulat 

 eller Axiom, som Euklid stiltiende antager. Hilbert undgaar i „Grundlagen der 

 Geometrie" en saadan abstrakt og almindelig Antagelse ved den mere konkrete at 

 opstille selve Sætning 1,4. som Axiom, en Udvej, som allerede Peletarius havde 

 vist hen paa i In Euclidis elementa geometrica demonstrationiim libri sex (1557), 

 S. 15. I 8., hvor den Sætning, at to Trekanter, der har Siderne stykkevis ligestore, 

 ogsaa har de ensliggende Vinkler ligestore, bevises antithetisk ved at antage et Par 

 saadanne Vinkler ulige store, anvendes Ordet èfapfw^stii ganske paa samme Maade 

 som i 4., og paa de tilsvarende Steder, for at omgaa en direkte mekanisk Flytning af 

 den ene Trekant over paa den anden. 



At vor Forklaring til I, 4. og 8. ganske stemmer med den Opfattelse, som 

 gjorde sig gældende paa den Tid, da Begyndelsen af Euklid's Elementer blev til, 

 fremgaar af en Kritik af L 4. og af dette Theorems Plads, som netop maa skrive 

 sig fra denne Tid. Den er bevaret ved Proklos (S. 241,18—243,20) efter en ældre 



