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thèses susceptibles de former, par composition, un système synthétique contenant à la fois 

 les vérités connues qu'on avait commencé par analyser et des vérités nouvelles. 



C'est à un tel procédé que se rattache l'usage du mot »éléments« {oTor/^ta). Aristote et 

 MÉNECHME expliquent qu'une proposition (avec sa démonstration) est élément d'une autre (et 

 de sa démonstration) si la première sert à démontrer la seconde. Par l'analyse on résout 

 donc successivement les théorèmes ou problèmes dans leurs éléments jusqu'aux derniers, 

 selon MÉNECHME jusqu'aux postulats. On trouve ainsi des éléments dont on peut composer 

 par l'opération inverse l'exposé synthétique de toute la théorie, ce qu'a fait Euclide. D'autre part 

 ses 13 livres s'appellent aussi »Éléments«, à savoir ceux des théories ultérieures qu'on va en 

 composer. De même Apollonius appelle les quatre premiers livres de ses »Coniques« les élé- 

 ments de la théorie de ces courbes. Ayant un but scientifique, de tels »Éléments« doivent 

 satisfaire les plus grandes exigences logiques: plus ils sont exacts et généraux plus les théo- 

 ries ultérieures qu'on en forme posséderont les mêmes qualités. ,^ 



Chap. V. Sur les mathématiciens qui ont réalisé la réforme platonicienne. 



Dans son enumeration des plus anciens mathématiciens grecs, Eudème cite un assez 

 grand nombre d'élèves de Platon, et la collaboration qu'il leur attribue doit avoir eu pour 

 objet la réforme dont nous parlons, ainsi que les formes, regardées par la postérité comme 

 obligatoires, de l'analyse et de la synthèse. Quant au premier de ce nombre, Eudoxe, la question 

 se pose de savoir si les grands progrès mathématiques qu'on lui doit n'ont pas servi, aussi 

 bien que ceux de Théétète, à inspirer Platon, autant que de son côté il a été influencé par 

 les communications du grand philosophe. Quoi qu'il en soit, son fameux postulat (Euclide 

 V, Def 4) — qu'à tort on à attribué à Archimède — est un excellent exemjile de l'analyse 

 dont nous avons parlé; nous y reviendrons dans le Chap. XI. 



Proclus a conservé plusieurs contributions de Ménechme à la constitution d''Éléments« 

 satisfaisant les idées de Platon. Nous avons rappelé sa mention des postulats, et une discus- 

 sion qu'il a eue avec le philosophe Speusippe porte à croire qu'il faut lui attribuer l'idée de se 

 servir, comme le fait Euclide, de ces hypothèses d'existence pour démontrer par les cons- 

 tructions dans les »problèmes« l'existence des figures composées, — avant d'en démontrer 

 les propriétés dans les »théorèmes«; il a même commencé la réalisation d'un tel projet par 

 les mêmes deux problèmes qui servent à Euclide d'introduction à son système (I, 1 et 2). 



On retrouve une idée semblable, dans la célèbre découverte de Ménechme, que les 

 courbes, i/' = bx et xg = ab, qui servent à la construction des deux moyennes géométriques 

 entre a et h, sont des sections coniques. Cette constatation sert, en efl'et, à établir l'existence des 

 deux courbes, celle du cercle étant déjà postulée. Ménechme parvient du reste aux dits résultats 

 par une analyse suivie d'une synthèse qui a plus tard servi de modèle des formes utiles de ces 

 deux opérations. De même, une démonstration de son frère Dinostuate a pu servir de modèle 

 de l'application de la réduction à l'absurde pour démontrer la justesse d'une valeur limite. 



On doit à Theudius des Éléments auxquels sans doute l'influence de Platon, et d'EuooxE, a 

 commencé de se faire valoir. De nombreuses citations d'ARisTOTE permettent une comparaison 

 de ces Éléments avec ceux d'EucLioE, et nous mettent à même de juger des progrès qu'avaient 

 préparés Ménechme et d'autres savants, et qu'EucLioE a réalisés. 



A côté des mathématiciens, Aristote a beaucoup contribué à donner aux Éléments leur 

 juste forme. D'un côté, ses lois logiques sont en grande partie obtenues par une analyse et une 

 généralisation des conclusions des mathématiciens, ce que montrent ses exemples; d'autre 

 part, les énoncés formels de ces lois auront été d'utiles guides aux mathématiciens occupés 

 de transformer la mathématique en science raisonnée. On explique le mieux le chap. 10 du 

 livre I des Analytiques postérieures en le mettant en rapport avec l'usage que, depuis 

 Ménechme, contemporain d'ARisTOTE, on faisait des postulats et des problèmes. — Les mêmes 

 deux savants se sont rencontrés dans l'étude de l'inversion des propositions. 



