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semblables à celles des anciens Indiens, et ils ont fait des déplacements des rectangles et des 

 carrés une véritable algèbre géométrique comprenant même la résolution d'équations mixtes 

 du second degré. Dans les 10 premières ijroi)ositions de son livre II EucLmE substitue des 

 constructions géométriques aux déplacements intuitifs avant d'en faire, dans les 4 dernières 

 propositions, les applications dont il a immédiatement besoin. 



Pour réaliser matériellement les déplacements on s'est servi d'instruments géométriques, 

 et tout d'abord du cordon. Les Égyptiens se sont servis aussi de règles et de gnomons solides; 

 le dernier instrument servait soit à construire des perpendiculaires, soit à donner, sans inter- 

 vention de la notion de l'angle, à une droite une inclinaison donnée par rapport à une droite 

 donnée (voir (ig. 5 p. 64 (262)). Les Pythagoriciens ont eu à leur disposition, pour construire 

 les figures illustrant leur algèbre géométrique, la règle, le gnomon et le compas à mesurer. 

 Les premières ai)plications du compas à dessiner ne sont attribuées qu'à Œnopide; c'est 

 grâce à lui qu'on a obtenu l'exactitude que demandaient les dessins astronomiques. 



Chap. VIII. Les déplacements d'EUCLlDE. 



Depuis Mknechme on substituait, dans la géométrie raisonnée, l'usage de postulats à 

 celui d'instruments, et les problèmes, ou constructions dépendant de postulats, aux construc- 

 tions matérielles. En même temps les »notions communes« 7 et 8 devaient servir à la com- 

 paraison des grandeurs géométriques. On suppose alors que l'une des figures soit »appliquée« 

 sur l'autre; mais cette application ne doit plus se faire par un déplacement matériel ou 

 intuitif de la figure totale: il faut l'effectuer par une construction, La coïncidence, critère 

 de l'égalité, résulte alors de l'univocité, à la place ])rès, de la construction de la figure déplacée. 

 EucLiDE réalise effectivement dans 1,2 un tel déplacement constructif d'une droite limitée; 

 mais la démonstration de fégalité de deux triangles ayant égaux un angle et les deux côtés 

 adjacents (I, 4.), ne peut plus s'effectuer de la manière qu'on voulait rendre obligatoire. C'est 

 pour cette raison que Hilbert a fait de cette égalité un axiome. Euclide se tire d'affaire d'une 

 autre manière: dans la démonstration de ce théorème et du théorème 1,8 il suppose l'ai^pll- 

 cation sans dire, ici, un mot sur la manière dont il faut l'effectuer; il montre seulement qu'une 

 telle application suffirait pour établir la coïncidence, totale en I, 4., partielle en 1, 8. Ce n'est qu'en 

 faisant usage de ces théorèmes et après plusieurs détours apparents qu'EucLiDE parvient dans 

 le problème 23 au déplacement constructif d'un angle dont il a besoin pour réaliser l'apiili- 

 cation supposée de la seule manière qu'il reconnaisse. Déjà les contemporains d'EucLiuE 

 lui ont reproché de donner ainsi un théorème avant le problème établissant l'existence de 

 la figure en question. Et, en réalité, Eucmde n'évite pas un cercle vicieux; mais le fait que 

 le cercle des conclusions se ferme de lui-même assure du moins la possibilité de la supposi- 

 tion qu'EucLiDE a faite dans ses démonstrations de 4 et 8. Ensuite les autres déplacements 

 se font par des problèmes. 



Déjà du temps d'AnisTOTE on avait remarqué les difficultés que présente la théorie 

 raisonnée des parallèles: elles n'ont été surmontées que plus tard par le célèbre ijostulat 5 

 d'EucLiDE; mais comment expliquer le besoin de son jjostulat 4 touchant l'égalité d'angles droits? 

 Historiquement il a i)u être substitué, comme les 3 premiers, à l'usage d'un instrument, à 

 savoir à celui du gnomon. Cependant Euclide ne fait pas de véritable emploi du iMistulat, 

 mais se borne aux constructions qu'instrunientalement on jjourrait accomplir par la règle et 

 le compas, tandis que peut-être Ménechme se servait encore du postulat pour la construc- 

 tion du carré, mentionnée, elle aussi, à propos de sa discussion avec Speusippe. Il serait 

 pourtant possible de trouver un motif qui eût pu déterminer Euclide à garder ce postulat, 

 ' aparemment superflu. En effet, il ne fait pas non i)lus d'emploi géométrique de la défini- 

 tion 4, celle d'une droite, qui a pour seul but de renvoyer à la manière dont on forme des droites 

 dans les arls; au lieu de cela il se sert des postulats qui demandent l'existence de droites 

 douées de certaines i)ropriétés géométriques: la définition 4 énonce l'identité de ces droites 

 avec les droites empiriques idéalisées. De même on a eu vraiment besoin d'une déclaration 



