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semblable disant que les longueurs, définies par les »notions communes et employées dans 

 la définition 15 du cercle, sont identiques aux longueurs empiriques. En effet, si l'on excepte 

 le i)ostulat 4, la géométrie raisonnée fondée sur les autres suppositions d'EucuDE serait appli- 

 cable à une géométrie dont les cercles sont en réalité des ellipses semblables et semblable- 

 ment posées. Je ne dis pas qu'EucLiDE ait observé une telle possibilité; mais, sous une forme 

 ou une autre, il a pu avoir eu un sentiment du danger anquel il s'exposerait en omettant le 

 dit postulat, de même qu'un juste sentiment l'a porté à éviter, par son postulat 5, les geome- 

 tries que nous appelons à présent noneuclidiennes. 



Chap. IX. La similitude des figures. 



Le sentiment intuitif de la similitude a amené de bonne heure des essais de déterminer 

 le rapport d'un cercle au carré circonscrit, ou celui de la circonférence au diamètre. On en 

 trouve chez les anciens Indiens et chez les Égyptiens d'une époque où l'on ne savait leur 

 donner qu'une exactitude assez mince. Ils sont continués par les Grecs, ce que montrent les 

 tentatives dans ce genre d'ANTiPHON et de Bryson. Et même pour s'expliquer qu'HippocuATE 

 de Chios ait pu prendre pour points de départ de ses recherches l'identité pour tous les 

 cercles du premier des dits rapports ainsi que la similitude de deux segments qui font les 

 mêmes parts des cercles respectifs, on n'a nullement besoin de penser à des démonstrations 

 de ces suppositions qui satisferaient à un élève d'EucLioE. 



La détermination des inclinaisons par le gnomon, et celle des distances à des points 

 inaccessibles montrent que les Égyptiens et, après eux, les Grecs ont fait usage de la proportion- 

 nalité des droites de figures semblables. Sans doute, les Pj'thagoriciens ont étudié, aussi 

 numériquement, des proportions, du moins dans leur musique; mais rien n'indique qu'ils 

 en aient fait usage pour en déduire des critères de la similitude. Au contraire, de même que 

 le déplacement de figures pour l'égalité, les similitudes intuitivement évidentes leur auront 

 servi de démonstration de proportionnalités de grandeurs représentées géométriquement, et 

 ils auront cru posséder ainsi une méthode applicable aussi aux quantités incommensurables. 

 Alors la réforme platonicienne aura entraîné non seulement la démonstration directe et géné- 

 rale des proportions qu'on trouve dans Euclide, V., mais aussi l'inversion qui en fait la base 

 de la théorie de la similitude. 



Toutefois le sentiment immédiat de la similitude continue à jouer un certain rôle même 

 dans les Éléments d'EucLioE. On y trouve, en efi'et, des définitions indépendantes entre 

 elles de la similitude, l'une pour les segments de cercle, l'autre pour les polygones. Qu'Euclide 

 choisisse la même dénomination dans ces deux cas différents, et que les lecteurs l'aijprouvent, 

 voilà ce qui doit résulter d'un sentiment intuitifet conimun. C'est le même sentiment qui a con- 

 duit Euclide aux critères des similitudes des différentes sortes de coniques qu'ARcaiMÈDE nous 

 a fait connaître. Seulement Apollonuis définit la similitude des différentes coniques par la 

 proportionnalité des deux coordonnées des points des figures, définition applicable à toute 

 sorte de figures. 



Chap. X. L'origine de la notion de l'angle. 



Dès le début de la géométrie on a connu la perpendicularité de deux droites, mais 

 nullement la comparaison de deux angles regardés comme grandeurs. Seuls les astronomes 

 babyloniens en ont eu besoin, tandis que nous avons vu que les astronomes égyptiens 

 et après eux les Grecs y ont substitué l'usage du rapport de deux droites. C'est l'étude des 

 figures semblables qui a porté les géomètres grecs à parler d'angles égaux, qu'ils appelaient 

 angles »semblables«. Selon Eudème, déjà Thalès aurait fait ainsi; quoi qu'il en soit, la 

 formation de la notion ne s'est pas fait attendre longtemps, et elle a été suivie par la com- 

 paraison de deux angles, leur addition, etc. La manière dont la notion d'un angle droit était 

 liée à celle d'un rectangle a montré que la somme des angles aigus d'un triangle rectangle 



D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk, og mathem. Afd., 8. Række, I. 5. 49 



