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est égale à un angle droit; ensuite on a établi, par la décomposition d'un triangle en deux 

 triangles rectangles (voir fig. 12, p. 100(298)), le théorème sur la somme des angles d'un triangle 

 quelconque. La démonstration qu'EuDÈME attribue aux Pythagoriciens s'obtient par la même 

 figure si l'on y efTace les trois perpendiculaires et fait usage des propriétés intuitives des 

 parallèles. 



Un contemporain d'AnisTOTE (probablement Theud:us) a fait usage dans une démons- 

 tration d'angles curvilignes, et encore Euclide tient compte de ces angles dans ses définitions; 

 mais la définition V, 4. (postulat d'EuDoxE) les exclut formellement de la théorie générale des 

 grandeurs que contient le dit livre. 



Chap. XI. Généralisation des démonsfrations ; reclierches infinitésimales. 



Euclide a soin de s'assurer que les démonstrations embrassent tous les cas auxquels 

 s'appliquent les énoncés des théorèmes. Il ne lui suffit donc pas de démontrer les propor- 

 tions dans les cas où les termes sont commensurables, ni d'appliquer immédiatement aux 

 limites ce qu'on avait prouvé pour des cas qui s'y ap])rochent indéfiniment. A ces égards 

 on s'était contenté autrefois d'une transition intuitive à l'infini, et la représentation géométri- 

 que a augmenté la confiance qu'on croyait ])ouvoir accorder à une telle intuition (voir chap. 

 IX). Toutefois déjà les paradoxes de Zénon devaient contribuer à l'ébranler, et du temps de 

 Platon on ne pouvait plus s'en contenter. C'est Eudoxe qui a trouvé une formule permettant 

 d'assurer la validité des résultats de telles transitions par une réduction à l'absurde. Son 

 postulat énoncé dans Euclide V, Déf. 4, demande l'existence d'un multiple d'une quantité 

 donnée qui en surpasse une autre. Euclide en déduit, X, 1, une autre formulation exprimant 

 qu'en répétant la soustraction de la moitié d'une quantité, ou de plus de la moitié, on finira 

 par trouver un reste plus petit qu'une autre quantité donnée. V, Déf. 4 est le dernier »élé- 

 ment« d'une analyse de la transition à l'infini, et X, 1 est l'avant-dernier. V, Def. 4 fait 

 ainsi le plus simple point de départ d'un exposé synthétique, et Akcuimède s'en sert dans les 

 démonstrations des résultats de ses recherches infinitésimales, tandis qu'EucLiDE et probable- 

 ment Eudoxe se contentent de prendre X. 1 pour point de départ des leurs. 



Pour la généralisation des proportions, au contraire, Euclide dans son livre V, où il 

 suit la voie frayée par Eudoxe, se sert de V, Def 4: en y joignant l'usage des définitions 5 

 et 7 il parvient à des critères de l'égalité ou l'inégalité de deux rapports qui ressemblent à 

 ceux de Dedekind. Cependant une remarque d'AmsTOTE nous montre que cette détermination 

 a été précédée par une autre où l'on se servait seulement de X, 1, de même que la détermina- 

 tion de Dedekind a été précédée de celle de Weierstrass. Aristote rappelle, en effet, une défini- 

 lion qui fait dépendre l'égalité de deux rapports de l'identité des »antanaireses« des deux 

 termes de chaque rapport, c'est-à-dire des nombres provenant des procédés, en général 

 infinis, qui devaient servir à en déterminer le plus grand facteur commun, s'il y en avait, 

 ou bien de celle des fractions continues servant à les déterminer. Euclide fait du reste, au 

 commencement du livre X, usage du même procédé pour éprouver la rationalité d'un rapport. 



Chap. XII. Généralisation des énoncés ; équations du second degré. 



Conformément aux demandes d'ARisxoTE, Euclide s'efTorce de donner à ses énoncés la 

 forme la plus générale possible; il étend ainsi le domaine auquel ils s'appliquent immédiate- 

 ment. Cependant, dans les cas où les proportions contiennent les démonstrations d'opérations 

 qui deviennent plus simples et faciles, sans devenir moins effectives, par l'usage de figures 

 plus particulières, la représentation dans les Éléments d'EucLiDE n'a pas été de nature à pro- 

 pager plus lard l'emploi de ces opérations là où il était moins connu qu'il n'était aux contem- 

 porains d'EucLiDE. Je pense en particulier à la solution d'équations du second degré sous forme 

 d'applications d'aires. Les simples transformations qui y servent sont en réalité démontrées 

 en II, 5 et 6; mais Euclide réserve les énoncés formels des problèmes et de leurs solutions 

 constructives jusqu'à ce que dans le livre VI il puisse leur donner une forme géométrique 



