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plus generale, dont il ne fait pourtant aucun usage. Au contraire, dans les démonstrations 

 du livre X, auxquelles il faut renvoyer pour faire voir le véritable profit qu'EucLiDE savait 

 tirer de ces procédés, il ne les emploie que dans les simples formes qui seraient suffisam- 

 ment démontrées par II. 5 et 6. 



Aussi dans les Data 84 et 85, oii Elcmde réduit des problèmes algébriques à des appli- 

 cations d'aires, il les généralise par l'emploi de parallélogrammes à un angle donné au lieu 

 de rectangles, généralisation géométrique qui n'a aucune valeur algébrique. Malgré la même 

 généralisation, il faut voir, dans les Data 86, une représentation géométrique de la solution 

 algébrique des équations xii = a, if- — mx- = h\ les équations aux p. 115 (:513) sq. en expriment 

 une traduction presque immédiate en langage mathématique moderne. On voit donc qu'il 

 s'agit ici de la solution algébrique d'un problème déterminé du même genre que ceux dont 

 DioPHANTE nous 3 coHscrvé des solutions numériques. 



Chap. Xlir. L'idéalité des figures géométriques. 



L'idéalité que Platon attribue aux figures géométriques n'était pas chose nouvelle; ce 

 qui fut nouveau c'était de l'énoncer formellement. L'abstraction caractérisait, en effet, les 

 premières recherches, mais elle était alors une conséquence du défaut de la faculté de diffé- 

 rencier. Les premières connaissances géométriques dont s'emparait l'intuition n'étaient justes 

 que pour des figures idéales. L'analyse que les élèves de Platon y appli(iuaicnt devait donc 

 conduire aussi à des éléments idéaux: points sans extension, lignes à une seule extension 

 etc., droites au sens exact, ne pouvant avoir, sans coïncider, qu'un seul point en commun, etc. 

 Les définitions d'EucLioE ont tout l'air d'être les résultats d'une telle analyse, ordonnés dans 

 la suite selon les règles de la synthèse. Ainsi on n'a pas besoin de rechercher des raisons 

 historiques de ce qu'on a pris pour deux séries différentes des définitions des premières notions 

 géométriques, à savoir d'un coté I, 1, 2, 5 et AI, 1, de l'autre I, 3, 6 et XI, 2. La dernière 

 série, prise en ordre inverse, indique l'analyse qui conduit de la notion de l'espace, ou du 

 corps, à celle de la surface comme limite d'un corps etc. jusqu'au point comme limite d'une ligne; 

 mais comme il fallait commencer la synthèse par ces derniers éléments on devait pousser 

 l'analyse assez loin pour en avoir des critères immédiats. On n'a trouvé que les nombres de 

 leurs dimensions indiqués dans la première série. C'est elle qui contient les véritables défini- 

 tions des dits éléments, tandis que les autres deviennent, par l'inversion que demande la 

 transition de l'analyse à la synthèse, les définitions des difTérentes limites, la définition 2 par 

 exemple celle de la limite d'une ligne, et par conséquent d'une ligne limitée. 



Chap. XIV. La stéréométrie. 



On a reproché à Euclide de ne pas distinguer dans l'espace entre congruence et symé- 

 trie, et on a même cru que les savants grecs étaient restés ignorants d'une différence qui 

 joue un rôle si important dans l'architecture grecque. Une telle supposition n'est pas 

 admissible. Si Euclide n'a ])as été amené à faire la dite distinction, c'est qu'ici, comme dans 

 la géométrie plane, il veut éviter tout ce qui dépend de déplacements mécaniques et intuitifs; 

 en même temps il préfère les énoncés généraux embrassant à la fois le plus possible. Du 

 reste, la même distinction aurait dû être faite aussi dans la géométrie plane, dont les opéra- 

 tions se font toujours dans le même plan. 



Comme dans la géométrie plane, Euclide regarde comme égales les figures dont la 

 construction est univoque, abstraction faite de tout ce qui appartient au choix de la place, 

 y compris celui des deux côtés d'un plan tant qu'on n'a pas déjà fait ce dernier choix pour 

 un point de la figure à construire. Une telle égalité n'est pas moins caractéristique de deux 

 figures symétriques que de deux figures congruentes. La construction XI, 23 d'un coin trilatère 

 à côtés donnés (voir fig. 14, p. 128(326)) et le renvoi en XI, 26 à cette construction comme preuve 

 de l'égalité de deux coins trilatères à côtés donnas, montrent que tel a été pour Euclide le 



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