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véritable critère d'éj^alitè. C'est, en effet, des applications de ce genre qu'il faut tirer les 

 principes généraux qu'il suit en réalité, car les définitions ne se réfèrent qu'à l'application 

 des mêmes principes aux figures particulières. Du reste, dans la stéréométrie, leurs énoncés 

 ne sont pas toujours irréprochables, tandis que le principe que nous avons tiré au clair est 

 suivi d'une manière conséquente. 



Chap. XV. EUCLIDE et ses Éléments. 



La découverte faite pendant le dernier demi-siècle, qu'avant Euci.ide on avait déjà possédé 

 une partie essentielle des connaissances déposées dans ses Éléments a parfois porté préjudice 

 à l'admiration qu'on accordait à ce savant, mais à tort. On supposait que ces connaissances 

 avaient été originairement acquises par des voies peu différentes de celles qu'on retrouve 

 dans les démonstrations d'EucLmE, et qu'il ne lui restait que la tâche de les réunir et compléter 

 sur quelques points et d'en accommoder la représentation aux formes dont on était successive- 

 ment convenu. Or je ne nie pas qu'en beaucoup de cas Euclide répèle des raisonnements 

 faits avant lui; mais ces raisonnements ne prennent leur véritable valeur logique qu'au 

 moment où ils deviennent partie d'un système logique total qui éclaire, jusqu'à la dernière 

 supposition, le fondement de chaque vérité particulière. C'est l'achèvement du premier 

 système de cette nature, c'est à dire d'une œuvre purement scientifique, que nous devons à 

 Euclide. Il ne faut pas voir dans l'ordre de ses livres un effet de contingences historiques. 

 Ayant en vue le. but de la géométrie, qui est de traiter des quantités continues, il devait rendre 

 compte aussi du fait qu'il en existe qui ne sont pas commensurables. Voilà ce qui explique 

 l'insertion des trois livres arithmétiques qui traitent de la condition de la commcnsurabilité 

 des radicaux et préparent ainsi la connaissance de celle de leur incommensurabilité. Non 

 seulement sur ce point, mais aussi pour surmonter les autres difficultés que j'ai signalées, 

 Euclide a eu d'éminents devanciers; ce que j'en ai dit aura servi avant tout à faire paraître 

 la réalite et la grandeur des obstacles à surmonter. Et qu'après tant de debats Euclide ait 

 dit le dernier mot et que ses Éléments aient été reconnus dans la suite comme le fondement 

 inaltérable de la géométrie, c'est bien là le meilleur témoignage du jugement de ses con- 

 temporains et successeurs. 



Chap. XVI. Le sort des Éléments d'EUCLIDE. 



La lecture des Éléments d'EucLioE demande au lecteur un œil ouvert aux vues scienti- 

 fiques de l'auteur. En même temps, il doit être, soit préi)aré par une instruction préalable, 

 soit guidé par un professeur possédant lui même la tradition indispensable pour s'approjjrier 

 à côté des démonstrations rigoureuses, de la pratique des méthodes nécessaires pour utiliser 

 les vérités démontrées; nous pensons par exemple à la solution des équations du second 

 degré. L'inégale mesure dans laquelle ces deux conditions ont été remplies et aussi, plus 

 tard, le renvoi d'une partie de ce qu'ils contiennent à une algèbre indépendante, a préparé aux 

 Éléments d'EucLioE un sort très variable pendant l'espace de plus de deux mille ans où ils 

 sont en usage. 



Les premiers savants alexandrins possédaient complètement ces deux condi- 

 tions. Ils ont donc pu développer la théorie des coniques, qui rentre dans le genre d'études 

 que l'auteur avait en vue en composant ses Éléments, et les coniques d'ApoLtoNius nous four- 

 nissent la meilleure illustration de la fécondité des méthodes de l'algèbre géométrique. C'est 

 au contraire pour des recherches entièrement nouvelles qu'ÀRcuiMÊDE a trouvé un fondement 

 absolument conforme aux principes de la géométrie euclidienne. Pour cela, il lui fallait 

 ajouter aux postulats d'EicLiDE de nouveaux qui sont relatifs à ses nouvelles doctrines soit 

 infinitésimales, soit statiques. Pour composer une statique raisonnée il doit avoir imité les 

 élèves de Platon et soumis les connaissances plus pratiques qu'il possédait déjà a une ana- 

 lyse pour en tirer les »éléments« qui font les points de départ de son exposé synthétique. 

 Selon son »Ephodos« ses connaissances statiques l'ont conduit aux découvertes infinitési- 



