272 VIII. Kapitel. 74 



Idet det fremhæves, at Beviset kun bruger de „almindelige Begreber" (særlig 

 7. og 8.), mindes der om en Mangel af et ved Postulater løst Problem, som skulde 

 skaffe Figuren tilveje. I Stedet herfor bruges „Betragtningen af den samme Tre- 

 kant i forskellige Beliggenheder", der jo maa bero paa en Flytning; og det er ikke 

 for at rose den, at den siges at „skyldes en sanselig og anskuelig Opfattelse", selv 

 om den undskyldes lidt ved Ordene „paa en Maade". Naar Karpos tilføjer, at 

 Problemerne dog gaar forud, maatte dette sigte til Euklids Sætninger 1.— 3.; men 

 disse er i Virkeligheden ikke tilstrækkelige til i 4. at udføre den Konstruktion af den 

 flyttede Figur, som skulde erstatte Flytningen. Ved 1. og 2. flyttes vel Liniestyk- 

 ket AB; men den Konstruktion, hvorved Vinklen BAC skulde flyttes, kommer først 

 senere (i 23.). Mon Kritiken ikke netop fra først af skulde have gjældt dette Punkt, 

 og Karpos' afglattende Bemærkning tilsidst bero paa en Misforstaaelse af den op- 

 rindelige Kritik og være foranlediget ved, at der dog gaar nogle Problemer forud for 

 dette første Theorem? 



Hvorledes dette sidste Spørgsmaal end skal besvares, ses det, at det, man be- 

 klagede ved Beviset for 4. og ved 8., netop har været Brugen af en anskuelig Flyt- 

 ning i Stedet for en rationelt begrundet plangeometrisk Konstruktion, og det stem- 

 mer med, at Euklid overalt i det følgende for retlinede Figurers Vedkommende 

 sætter en saadan Konstruktion i Stedet for anskuelige Flytninger. Han var sig alt- 

 saa Kravet om delle fuldl bevidst og maatle i det hele tage Hensyn til alle de Krav, 

 som var blevet gjort gældende i de Forhandlinger om den rette Begyndelse paa en 

 Fremstilling af Geometriens Elementer, der efter vore forskellige Uddrag af Proklos 

 var blevne førte mellem Mathematikerne fra Menaichmos til Eukkid. Man kan 

 derfor vide, at Euklid vel har overvejet baade den Plads, hvorpaa han har stillet 

 hver Sætning i første Bog, og hvert Ord i Udsigelsen af og Beviset for disse Sæt- 

 ninger, særlig naar det gjaldt noget saa omstridt som Beviserne for 4. og 8. Der- 

 for har vi ogsaa maattel og kunnet prøve selve Ordene i disse sidste Beviser. 



Vi skal nu give et kort Overblik over, hvorledes Euklid bj'gger videre, fore- 

 løbig for at naa til den Konstruktion, der skal helt overvinde den i 4. og 8. kun 

 delvis overvundne Vanskelighed ved Flytning af retlinede plane Figurer. I 5. an- 

 vender han det i 4. fundne Resultat til at bevise, at i ligebenede Trekanter Vink- 

 lerne ved Grundlinien er lige store. Ogsaa i delle Theorem maa han endnu, imod 

 Menaichmos' Principer, forudsætte Existensen af ligebenede Trekanter, altsaa af Tre- 

 kanter med givne Sider (soni dog maa tilfredsstille visse givne Betingelser), førend 

 han i el senere Problem beviser den. I 6. beviser han den omvendte Sætning. 5. 

 benyttes i 7. til at bevise, at to Punkler A og B ikke kan være Toppunkter i to 

 ligebenede Trekanter med en fælles Grundlinie, som helt ligger paa samme Side 

 af den rette Linie AB. For denne Sætning har han Brug i det alt omtalte antitheliske 

 Bevis for Sætning 8., al to Trekanter, der har Siderne ligestore, ogsaa har Vinklerne 

 ligestore og altsaa ifølge 4. selv er det. Hverken her eller i del følgende sammen- 

 fatter han dette ved et om Flytning mindende Ord som vort „Kongruens". Først 

 efter senere at have talt om Ligedannelhed, kan han sige , ligestor og lige- 



