75 Figurflytning lios Euklid. 273 



dannet", hvor vi siger kongruent; herved er enhver Anvisning paa Flytning und- 

 gaaet. 



Med 8. har Euklid vundet et konstruktivt Kendetegn paa, hvad ligestore Vinkler 

 er, nemlig i deres Optræden som ensliggende Vinkler i Trekanter med samme Sider. 

 For i 23. at bruge det til den almindelige Konstruktion af en flyttet Vinkel, det er 

 her, hvor al Tale om mekanisk Flytning undgaas, af en Vinkel ligestor med en 

 given, med Toppunktet i et givet Punkt og en given Linie gennem dette til Ben, 

 maa han dog først i 22. give den almindelige Konstruktion af en Trekant med givne 

 Sider; men forud for dette maa han finde Mulighedsbetingelsen for dette Problem, 

 der uden Tilføjelse af denne Betingelse som Diorisme slet ikke vilde være noget 

 Existensbevis. Efter den Orden, som han og senere græske Matheniatikere følger, 

 skal det forud for Problemet i et Theorem (20.) bevises, at den opstillede Betingelse 

 er nødvendig; dens Tilstrækkelighed bevises ved Konstruktionen. 



Førend Euklid naar saa vidt, nøjes han med at anvende det i 8. vundne Kende- 

 tegn paa mere specielle Tilfælde; men allerede i disse sætter det ham i Stand til 

 at give Problemer og Theoremer den rette indbyrdes Ordning, hvad han jo nødtes 

 til at forsømme i 4. — 8. Han konstruerer saaledes i 9. og 10. en Vinkels Halverings- 

 linie og et Liniestykkes Midtpunkt, før han tor forudsætte deres Existens og gøre 

 Brug at dem i andre Sætninger. Og dette stemmer ganske med de almindelige 

 Krav, som han stiller sig, og efter hvilke han ikke kan nøjes med Anskueligheden 

 af, at der maa være en Halveringslinie og et Midtpunkt. Det gælder om, at de 

 Vinkler, hvori den første deler den givne Vinkel, skal komme til at tilfredsstille 

 det konstruktive Kendetegn paa Ligestorhed, som han endelig har kunnet opstille 

 i 8., og ligesaa de Stykker, hvori Midtpunktet deler Liniestykket, Kendetegnene paa 

 Ligestorhed mellem Liniestykker. 



Kendetegnet 8. sætter ham i Stand til de „Problemer", hvorved det vises, at 

 der virkelig er noget, som svarer til Definition 10. 's Bestemmelse af en ret Vinkel, 

 det er en saadan, som er lig med dens Nabovinkel. Det sker ved de bekendte 

 Konstruktioner af en ret Linie, som staar vinkelret paa en given i et givet Punkt 

 af denne (11.) eller gaar gennem et givet Punkt udenfor den (12.) 



Noget vidtløftige forekommer os maaske nu Beviserne i 13. og 14. for, at Vink- 

 lerne, som en ret Linie i el Punkt danner med en ret Linie paa samme Side af 

 denne, tilsammen udgor to rette, og at, naar omvendt Summen af to eller flere paa 

 hinanden følgende Sidevinkler er to rette, de yderste frie Ben ligger ud i en ret 

 Linie. En mulig Grund til Vidtløftigheden, særlig af Beviset for 14., skal vi snart 

 berøre. Til de nævnte Sætninger .slutter sig Sætning 15. om Ligestorheden af Top- 

 vinkler. 



Sætning 15. benyttes i den nu paafølgende, mere direkte Forberedelse af den 

 Diorisme, som udtrykker Forudsætningen for, at tre opgivne Liniestykker kan være 

 Sider i en Trekant. I 16. bevises, at Nabovinklen ACD til en Vinkel i en Trekant 

 ABC (Fig. 8) er større end en hvilkensomhelst af Trekantens andre Vinkler, f. Ex. 

 A. Det sker ved til Midtpunktet E af Linien AC, hvis Existens er bevist i 10., at 



36* 



