274 



VIII. Kapitel. 



76 



Fiff. 9. 



drage Linien BE og paa (len.s Forlængelse afsætte EZ ^- BE. Da følger del af 4., 

 al Vinkel A = ACZ < ACD. Samtidig medtages med Henblik paa den senere Paral- 



leltheori den af 16. følgende Sætning 17., at Sum- 

 men af to Vinkler i en Trekant er mindre end to 

 rette. 16. benyttes dernæst til at bevise (18.), at 

 overfor den største af to Sider i en Trekant ABC, 

 hvor AC > AB (Fig. 9), ligger den største Vinkel; 

 thi afsættes AD = AB paa AC, er ifølge 5. Vinkel 

 ABD, som kun er en Del af Trekanlsvinklen ß, ligestor med ADB, som ifølge 16. 

 er større end C. Den omvendte Sætning 19. udledes heraf ved et antithetisk Bevis. 

 Til 19. knytter sig atter (i 20.) Beviset for, at (Fig. 10) 

 en Side BC i en Trekant ABC er mindre end Summen 

 af de to andre BA^AC; thi afsættes AD = AC paa 

 Forlængelsen af BA, er (ifølge 19.) BD ; BC. Skønt 

 EuKi.iD dermed har naael at bevise Nødvendigheden af 

 Mulighedsbetingelserne for en Trekanis Bestemmelse, 

 ved sine tre Sider, føjer han dog dertil straks den al- 

 mindeligere Sætning (21.), at naar af to Trekanter med en fælles Side den ene lig- 

 ger indeni den anden, er Summen af den indvendige Trekants lo andre Sider 



mindre end Summen af de lo øvrige Sider i den udven- 

 dige Trekant. Af Hensyn til en senere Betragtning ind- 

 skyder vi her den Bemærkning, at af de to Sætninger 

 20. og 21. følger umiddelbart de almindeligere, al, naar 

 en ret og en brudt Linie har samme Endepunkter, er 

 den første mindst, og at, naar af lo brudte Linier mel- 

 lem samme Endepunkter, der vender Konkavilelen til 

 samme Side, den ene ligger indenfor den af den anden 

 og den rette Linie mellem begges Endepunkter begræn- 

 sede Figur, er den inderste mindst. 



Sætning 20. sætter Euklid i Stand til at tilføje Mu- 

 lighedsbetingelsen til Problemel 22. om en Trekants Bestemmelse ved sine tre Sider 

 og efter dettes Løsning at konstruere en given Vinkel paa et nyt Sted (23.). Mang- 

 len fra 4. og 8. er allsaa nu udfyldt, og Flytningen af en Vinkel kan nu som tid- 

 ligere Flytningen af et Liniestykke (2.) udføres ved en postulatbesteml Konstruk- 

 tion. Da delle nu er vist en Gang for alle, kan derefter Euklid tænke sig en hvil- 

 kensomhelst retlinet Figur flyttet hen til el andel Sled i Planen, saaledes f. Ex. at en 

 Side falder sammen med el givet dermed ligeslort Liniestykke i Planen, uden at bygge 

 paa en intuitiv Forestilling om en mekanisk Flytning. Derved sæltes han i Stand 

 til at fuldstændiggøre 4. og 8. med Sætningerne om Trekanter, der har lo Sider 

 stykkevis ligestore, men (24.) den mellemliggende Vinkel') eller (25.) den tredie 



Fig. 10. 



') I den bevarede Tekst er Beviset for 24. ufuldstændigt, idet Muligliederne ikke er udtømte med 

 Hensyn til den tredie VinUelspids i den flyttede Trekant; denne Mangel er dog tidlig bemærket og udfyldt. 



