77 Figuiflytning hos Euklid. 275 



Side ulige stor, og lil i 26. under antilhelisk P'orm at bevise, at en Trekant paa 

 Beliggenheden nær er fuldstændig bestemt ved en Side og to Vinkler. 



Nu gaar Euklid over til Læren om Paralleler og den dermed forbundne om 

 Vinkelsummen i en Trekant, og derved benj'tter han som bekendt det berømte 5. 

 Postulat, i ældre Udgaver betegnet som det 11. Axiom. Undersøgelsen af dette 

 Postulats principielle Betydning skal vi dog her forbinde med en Undersøgelse af 

 Betj'dningen af det mærkelige Postulat 4.: alle rette Vinkler er ligestore; thi det 

 maa være før det Sted i Euklid's Elementer, hvortil vi nu er naaet, at der skulde 

 kunne have været Brug derfor, og dog har vi i vor Gennemgang ikke fundet nogen 

 Anledning til at omtale det. Tvertimod fremgaar det af Definitionen paa en ret 

 Vinkel, at den er Halvdelen af en lige Vinkel, som vi nu kalder den, hvis Ben falder 

 i hinandens Forlængelse, og at sige, at saadanne er ligestore, er det samme som at 

 sige, at en ret Linies Forlængelse ud over et Punkt (Postulat 2.) er entydig bestemt. 

 Euklid bruger ganske vist ikke Begrebet en lige Vinkel, som han i det hele ikke 

 udstrækker sine Begreber til Grænsetilfælde (et Kvadrat er ikke et Rektangel osv.); 

 men denne Vanskelighed vilde han ligesaa let her som andetsteds kunne omgaa 

 ved Brug af et antithetisk Bevis eller lignende. Der synes altsaa ikke at have fore- 

 ligget nogen Nødvendighed for at udtale den nævnte Paastand som Postulat, for i 

 Sætning 14. deraf at slutte, at to Vinkelsummer, der begge er to rette, er indbyr- 

 des ligestore. Det er jo netop dette, der umiddelbart følger af Entydigheden af 

 Postulat 2. Ved at se hen paa, hvad der umiddelbart findes i Euklid's Beviser, 

 har jeg derfor tidligere, nemlig i min Mathematikens Historie, ikke kunnet finde 

 nogen anden Grund for Euklid til at opstille Postulat 4., som udtaler, at „alle rette 

 Vinkler er indbyrdes ligestore", end den, at han derved har villet pointere Enty- 

 digheden af Postulat 2.; men saa skulde han ligesaa vel have pointeret Entj'dig- 

 heden af Postulat 1. Begge Dele ses imidlertid af Anvendelserne overalt at have 

 været underforstaael. 



Hvis man imidlertid vil betragte Opstillingen af Postulat 4. som en Uagtsom- 

 hed, turde den her givne Forklaring være den rimeligste og vistnok den eneste, 

 som kan knyttes til virkelige Anvendelser hos Euklid af Postulatet. Ved at se hen 

 til den Omhu, hvormed hvert Skridt i Begyndelsen af første Bog er overvejet og 

 forhandlet af kyndige Mathematikere, hvis Opmærksomhed var saa meget mere 

 aarvaagen, som det behandlede Omraade var lille, bliver man dog mindre tilbøjelig til 

 at tro, at en saadan Uagtsomhed kunde begaas, og begaas uden at blive anholdt. 

 I Virkeligheden var Fristelsen til at anholde den og bevise Postulatet slørre end 

 den til at godkende dets Opstilling som Postulat. Der er derfor Grund til at under- 

 søge, om ikke netop den Omstændighed, al Euklid har stræbt at undgaa Brug^af 

 Figurtlytning, kan have bragt ham til at opstille et Postulai, hvorved hans mere 

 rationelle Geometri, i hvilken det i og for sig ikke savnes, bliver reelt identisk med 

 den hidtil kendte, den, som benytter Flytninger. Man opfordres saa meget mere 

 til al prøve dette, som vi af Euklid's Behandling har sel, hvor meget Besvær den 

 Vanskelighed, som har bragt Hilbeiit til al opstille Euklid's Sætning 4. som Axiom, 



