276 VIII Kapitel. 78 



har voldt ogsaa ham. For at foretage denne Prove maa vi undersøge „den Geo- 

 metri", som EuKLiu vil faa ud, naar han alene bygger paa Postulaterne 1. — 3. Der- 

 ved skal vi foreløbig ganske se bort fra, om vore Betragtninger ogsaa kunde til- 

 lægges Euklid og hans samtidige, og blot tænke paa, hvad en konsekvent Videre- 

 førelse af de Undersøgelser, som i Elementerne bygger paa de nævnte tre Postulater, 

 vil give'). 



Hvad der har voldt de Vanskeligheder, hvormed vi i det foregaaende har set 

 Euklid kæmpe, er, at Anvendelsen af Størrelsesbegrebet paa geometriske Størrelser, 

 først og fremmest Længden af begrænsede rette Linier, sker ved de ,,almindelige 

 Begreber" 7. og 8., som først kan anvendes, naar Størrelserne helt eller delvis dæk- 

 ker hinanden, men at paa den anden Side denne Dækning ikke som en praktisk 

 Maaling maa tilvejebringes ved en mekanisk Flytning, men ved Konstruktioner, 

 byggede paa de tre første Postulater. Ved disse benyttes Cirkler. En saadan er 

 ifølge Def. 15. „en plan Figur, indesluttet af én saadan Linie (som kaldes Periferien), 

 at alle de rette Linier, der kan drages ud til den fra ét indenfor Figuren liggende 

 Punkt, er indbyrdes ligestore". Her lægger man først og fremmest Mærke til, at 

 Cirkellinien, Periferien, bestemmes som Sted for Punkter med indbyrdes ligestore 

 Afstande fra Centrum; men hvad „ligestore" Afstande er, faar man først at vide i 

 „Almindelige Begreber" 7. Der er dog ingen Grund til at stødes over denne Orden; 

 thi Brugen af Euklid's Forudsætninger svarer her ligesaa lidt som andetsteds til 

 den Orden, hvori de opstilles. Mangen en Definition forstaas først efter de senere 

 Sætninger om, hvorledes det definerede tilvejebringes-). Derimod kunde man be- 

 frygte en „circulus viliosus", naar de ved Ligestorhed af Radierne definerede Cirkler 

 benyttes i de Konstruktioner, som tilvejebringer den Flytning, hvorved Ligestor- 

 heden efter „Alm. Begr." 7. prøves. 



At Euklid's Forudsætninger dog ikke danner en saadan logisk Cirkel, kan 

 ses deraf, at de virkelig, som vist i del foregaaende, har kunnet benyttes til en 

 rationel Opførelse af en Helhed, hvori baade Cirkler og Ligestorhed af Liniestykker 

 faar deres bestemte Betydninger. Dette sker ved en Samvirken af de to paa for- 

 skellige Steder opstillede Forudsætninger. Betragter man i Cirklens Definition 

 Kravet om Radiernes Ligestorhed som gældende en endnu ikke nærmere forklaret 

 Egenskab, hvorom kun vides, at den bestemmer Radiernes Endepunkter, er Cirklen 

 foreløbig kun en lukket Kurve og Centret et saadant Punkt, at en Linie derigennem 

 kun skærer Periferien i et Punkt paa hver Side af Centrum. At det siges, at Ra- 

 dierne er ligestore, og at man efter Postulat 3. med et hvilketsomhelst Punkt 111 



') Den Forklaring af Postulat 4., som vi derved erholder sum et paakrævet Supplement til de 

 andre 4 Postulater, er given af Lindemann i „Vorlesungen über Geometrie" II, 1 (1891) S. 540 ff Denne 

 gaar dog ikke ind paa den Maade, hvorpaa Euklid i det enkelte benytter de Korudsætninger, som ban 

 opstiller; men ban viser kun deres Sammenbæng med det, som karakteriserer projektivisk og metrisk 

 Geometri. 



'-) Dette gælder f. Ex. i Vil. Bog, i hvis Begyndelse vi har troet at se en Model for den senere 

 synthetiske Ordning af andre Afsnit (se S. 24 (222)), om Definitionen paa „Dele af" (se Oversigt 1910 S. 

 410). Det stemmer ogsaa med Akistoteles' Analgtica post. 1,10 (se S. 43 (241)). 



