79 Figurflytning hos Euklid. 277 



Centrum kan konstruere en Cirkel, som gaar igennem et hvilketsomhelst givet Punkt 

 (det vil sige, at en saadan Cirkel existerer) giver dernæst et konstruktivt Kende- 

 tegn paa, om Liniestykker med et fælles Endepunkt er ligestore. 

 Dette giver dernæst (ved Euklid's Sætninger I, 1. — 3.) Kendetegn paa, om Linie- 

 stykker, der ligger paa vilkaarlige Steder i Planen, er ligestore, eller hvilket 

 der er størst. Hermed bliver der stillet nye Krav til det System af Kurver i en 

 Plan, som man skal have Lov til at kalde Cirkler. De Liniestykker, som ved Kon 

 struktioner med dem bestemmes som ligestore, skal nemlig ogsaa svare til det i 

 de 6 første „Almindelige Begreber" opstillede Størrelsesbegreb, deriblandt særlig 

 tilfredsstille det første Krav, at naar to Størrelser er ligestore med en og samme 

 tredie er de indbyrdes ligestore. Naar man saaledes i Sætning \. konstruerer den 

 ligesidede Trekant ABC ved Cirkler om A og ß som Centre og med Radius AB, 

 der skærer hinanden i Punktet C, skal Cirklen med C som Centrum, der gaar gen- 

 nem A, tillige gaa gennem B, altsaa være underkastet en Betingelse foruden de nys- 

 nævnte, og flere Betingelser vil komme til, naar C bliver betragtet som Vinkelspids 

 i flere ligesidede Trekanter, eller naar man tillige tager Hensyn til Flytningssæt- 

 ningen 2. 



Der synes nu at rejse sig det Spørgsmaal, om der overhovedet existerer et 

 System af Kurver i Planen, der tilfredsstiller alle de Betingelser, som kræves af 

 dem, som man efter de opstillede Forudsætninger vil kalde Cirkler. Dette Spørgs- 

 maal kan imidlertid efter den Maade, hvorpaa Platon's Efterfølgere dannede Postu- 

 laterne, straks besvares med Ja. Det er sket ved en Analyse, Opløsning af forud 

 kendte Sætninger i deres Elementer, og de sidste Elementer, de, fra hvilke man 

 gaar ud i den syntlietiske Fremstilling, er de, der opstilles som Definitioner og Po- 

 stulater. De forud bekendte Sætninger, som man gaar ud fra, er saadanne, som 

 man let kunde bevise ved Figurflytning, og som altsaa, som vi nu vilde udtrykke 

 os, gælder for „den Geometri", i hvilken Figurflytning er en tilladelig Operation, 

 og som vi for Nemheds Skyld vil kalde den empiriske Geometri. Analysen 

 skulde vel ifølge det Formaal, som man havde sat sig, helst naa til saadanne For- 

 udsætninger, af hvilke man ogsaa uden Figurflytning kunde udlede de samme og 

 nye Sætninger; men Sikkerheden for, at disse Forudsætninger ikke staar i indbyrdes 

 Strid, altsaa overhovedet er mulige, følger af, at det efter deres Oprindelse paa 

 Forhaand vides, at der existerer „en Geometri", for hvilken de gælder, nemlig den 

 „empiriske Geometri". Et andet Spørgsmaal er det, om de samme Forud.sætninger 

 er tilstrækkelig snævre til at passe alene paa denne empiriske Geometri. At dette 

 ikke er Tilfældet, skal her først vises ved Betragtninger, som ikke stod til 

 de gamles Raadighed. Holder man sig udelukkende til Postulaterne, maa 

 der endog spoiges, om der ikke existerer en almindeligere Geometri, hvis rette 

 Linier alene defineres ved Postulaterne L og 2. og et til 5. svarende, om end ander- 

 ledes begrænset Skæringspostulat. Dette vilde finde Sted i den Geometri, som 

 F. Klein efterlyser i sit Erlangerprogram '). Forudsætningen om, at de rette Linier, 



') Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen 1872. Se ogsaa: 

 lieber die sogenannte Nichl-Euclidiscl\e Geometrie, II ;^Math. Aanalen VI (1873)). 



