81 Figurflytning hos Euklid. 279 



Størrelser af Liniestykker, altsaa ogsaa om Radiernes Ligestorhed, som, efter hvad 

 vi viste, frenigaar deraf og af de „Almindelige Begreber". 



For at faa fat paa de Egenskaber, som maa tillægges de Linier, der i den 

 saaledes almindeliggjorte Plangeometri i Overensstemmelse med de Forudsætninger, 

 som virkelig benyttes, maa kaldes Cirkler, vil vi tænke os to Planer a og «' og i 

 den ene «', „den empiriske Plan", operere med empiriske rette Linier og empiriske 

 Cirkler og Afstande og i den anden « vel, i Overensstemmelse med Definition 4. 

 paa en ret Linie, med empiriske rette Linier, men med Cirkler og Længder af Linie- 

 stykker, som endnu ikke er underkastede de i Begyndelsen af Euklid's I. Bog ube- 

 nyttede Postulater 4. og 5. Vi kan lade lire Punkter A, ß, C, D af «, af hvilke ikke 

 tre ligger i en ret Linie, svare til fire Punkter af «', med hvilke det samme er Til- 

 fældet. Naar nu til enhver ret Linie i den ene Plan ogsaa skal svare en ret Linie 

 i den anden, faar vi en piojektivisk Samsvaren mellem Punkterne i de to Figurer. 

 Gaar man nu ud fra til hinanden svarende Punkter i de to Figurer og anvender 

 tilsvarende lineære Operationer, kommer man i « og à til nye tilsvarende Punkler. 

 Ved Konstruktionen af tre Punkter L', M', N i «', som ligger i en ret Linie, kan man 

 ogsaa delvis benytte Cirkler, nemlig ved Anvendelse af Pascal's Sætning paa en 

 Cirkel. De tre Punkter L, M, N, der svarer til L', M, N', ligger i en ret Linie, og til 

 Siderne i den pascalske Sekskant svarer Linier, som danner en ny saadan, hvis 

 Vinkelspidser ligger paa et Keglesnit, der svarer til Cirklen i a. Da nu den i Ord 

 udtrykte Anvendelse af de Kurver, som i de to Geometrier kaldes Cirkler, er ganske 

 den samme, vil det fundne Keglesnit være en „Cirkel" i den udvidede Geometri. 

 Som svarende projektivisk til Cirklerne i Planen «' maa Samlingen af „Cirkler" i 

 « være Keglesnit gennem to faste reelle eller imaginære Punkter E og F svarende 

 til Cirkelpunkterne i a, Linien EF altsaa til den uendelig fjerne Linie i a, og „Cen- 

 trene" for disse „Cirkler" vil væi-e Linien EF's Poler. 



Naar nu Euklid, der jo ikke tænker paa at bygge en ny og almindeligere Geo- 

 metri paa de geometriske Forudsætninger, han faktisk indskrænker sig til at benytte, 

 vil have slaaet fast, at den virkelige Genstand for hans rationelle Tankebygning 

 er den empiriske Geometri, kan det kun ske ved Tilføjelse af nye Postulater. De 

 maa paa den Maade, han kunde det, udtrykke, at Punkterne E og F er de uendelig 

 fjerne Cirkelpunkter. 



Hertil hører først og fremmest, at Linien EF er den uendelig fjerne Linie i 

 Planen, eller at det, som han kalder parallele Linier, netop er de empiriske Paral- 

 leler. Tildels er dette allerede udtrykt i Def. 23 paa parallele Linier som saadanne 

 Linier i samme Plan, der kan forlænges i det uendelige til begge Sider uden at 

 skære hinanden ; men i det væsentlige vilde man opnaa det samme ved en Begræns- 

 ning, som under en eller anden Form udtrykte, at Operationerne ikke udstrækkes 

 til den Del af Planen, hvor den Linie, vi har kaldt EF, ligger. Hvis man uden at 

 ane den fulde Rækkevidde af de beskrevne Operationer, der ved Brug af de omtalte 

 Keglesnit i Stedet for Cirkler i Virkeligheden bliver projektiviske, fik med Skærings- 

 punkter med denne Linie at gøre, vilde disse Operationer føre til Resultater, der 



I) K D. Viiiensk Selsk. Ski., naturvidcnsk. og matheni. Afd,, 8. R.%kke, 1. 5. 37 



