280 VIII. Kapitel. 82 



vilde forekomme Euklid ganske absurde: Linestykker, hvis konstruerede Midtpunkt 

 ligger i det ene Endepunkt eller paa Forlængelsen, Vinkler mellem rette Linier, som 

 skærer hinanden, der ifølge Konstruktionen bliver O eller negative (o: optræder som 

 Subtrahender i Stedet for Addender og omvendte. Saadanne Absurditeter undgaar 

 Euklid dels ved faktisk at holde sig til en Figuranskuelse, der bunder i en empi- 

 risk Opfattelse af Plangeometrien, dels ved den nysnævnte Definition paa Paralleler. 

 Derved bliver han i Stand til at bevise den ene Parallelsætning (1, 27), nemlig at 

 to Linier bliver parallele, naar de overskæres af en tredie, saaledes at de enslig- 

 gende Vinkler er ligestore. I modsat Fald vilde man nemlig faa en Trekant, hvor 

 en udvendig Vinkel var ligestor med den indvendig modsatte, medens det i 16. er 

 bevist, at den er større. Det Tilfælde, hvor denne Forudsætning vilde blive ugyl- 

 dig ved en konsekvent Gennemførelse af de beskrevne Konstruktioner, udelukkes 

 nemlig ved den i Definitionen paa parallele Linier udtrykte Forudsætning. 



At dette kan opnaas gennem en negativt udtrykt Definition, beror paa, al 

 Beviset for 27. føres antithetisk. Derimod maa der en positiv Forudsætning 

 til for at begrunde denne Sætnings Modsætning, at der virkelig existerer et Skæ- 

 ringspunkt mellem to rette Linier, naar de overskæres saaledes af en tredie, at de 

 ensliggende Vinkler ikke er ligestore. Og her er det Euklid's (eller hans nærmeste 

 Forgængeres) store Fortjeneste at have set, al en saadan Forudsætning ikke er en 

 Følge af dem, han alt har opstillet, men at en ny er nødvendig. Da har han valgt 

 at opstille den nævnte Paasland selv som Postulat. Den omtalte Nødvendighed er dog 

 allerede den logiske Følge af hans hele Behandling. Konstruktioner ved Hjælp af 

 rette Linier beror nemlig lige saa meget paa, at man kan bestemme et Punkt ved to 

 rette Linier, som paa, at man kan bestemme en rel Linie ved lo Punkler, og del 

 er kun undtagelsesvis, al Euklid i en foregaaende Sætning (2L) har kunnet paavise 

 Existens af Skæringspunkter mellem rette Linier derved, at en Linie, der forbinder 

 et indre Punkt af en Fladefigur med et ydre, maa skære Konturen (S. 68 (266)). 



Hermed har man den Euklidiske Paralleltheori, som i Tidernes Løb har fristet 

 saa mange til at forsøge at bevise den Paasland, som den mere klartseende Euklid 

 har fundet del nødvendigt al gøre til el Postulat. Om dettes Tilbliven fremgaar 

 det af nogle af de af Hkiiserg (S. 18) anførte mathematiske Steder hos Aristotelks 

 (65 a 4,66 a 11, 74 a 13), al man da var begyndt at faa Blik for de Vanskeligheder, 

 denne Theori kan frembyde, men ikke endnu havde overvundet dem. Som Kende- 

 tegn paa Parallelismen brugte man vel ogsaa da Ligeslorheden af el Par ensliggende 

 Vinkler fremkomne ved Overskæring med en tredie Linie; men man synes hverken 

 at have bevist Tilstrækkeligheden, som det sker ved Euklid I, 16., eller at have 

 set, at Nødvendigheden maalle slaas fast ved et Postulat. Man var dog bleven sig 

 bevidst, al her forelaa el Savn. Parallelsporgsmaaiel er altsaa allerede sal under 

 Debat paa samme Tid som de øvrige Spørgsmaal, som ligger til Grund for Behand- 

 lingen af Begyndelsen af første Bog. Menaichmos har da rimeligvis ogsaa haft del 

 for Øje ved sine Forslag til Behandlingen af denne Begyndelse. 



Ved Definitionen paa Paralleler og ved den P'orbindelse, hvori denne sæltes 



