od Figurflytning hos Euklid. 281 



med det i alle Tilfælde uundværlige Konslruktionsmiddel, som gives i Postulatet I, 5., 

 har EiKLiD faael slaaet fast, at i den Geometri, hvorpaa han anvender sine iovrigt 

 vidererækkende Postulater 1. — 3., er den Linie, vi i vor Prøvelse af disses Række- 

 vidde har kaldt EF, uendelig fjern. Den Brug af Anskuelsen, som han heller ikke 

 nægter sig, vil ogsaa medføre, at de for alle „Cirklerne" i hans Figurplan « fælles 

 to Punkter £ og F er imaginære, eller at de paagældende Kurver er ligedannede 

 og ligedan beliggende Ellipser; men videre kan man ikke komme, naar man ude- 

 lader Postulat 4. og ikke tillægger Ligestorhed og Uligestorhed af Liniestykker og 

 af Vinkler eller „Cirkler" anden Betydning end den, som det lykkedes at fastslaa 

 uden mekanisk anskuelig Figurllytning. Hvert Ord af Euklid's første Bog bliver, 

 naar Postulat 4. udelades, ogsaa anvendeligt paa en Plangeometri med saadanne 

 Ellipser i Stedet for Cirkler, en Plangeometri, hvis Sætninger kunde udledes af den 

 sædvanlige empiriske Plangeojiietris ved Parallelprojektion fra en Plan til en anden. 

 Der behoves altsaa endnu et Postulat eller en Definition, svarende til Definitionen 

 4. paa en ret Linie, til at indskrænke den paa de øvrige udtrykkelig opstillede 

 Forudsætninger byggede Geometri til at omfatte empiriske Cirkler, som man (med 

 Tilnærmelse) kan tegne med Passer, og i hvilken Ligestorhed af Liniestykker eller 

 Vinkler er den, som kan prøves ved mekanisk Flytning. Hertil vil det være nok 

 at slaa fast, at en af hans „Cirkler" er en empirisk Cirkel, og dermed de alle, e41er 

 at to af hans „rette Vinkler", hvis Ben ikke er stykkevis parallele, er virkelige 

 empiriske rette Vinkler, det er saadanne, som mekanisk kan bringes til Dækning 

 med deres Nabovinkler. 



Dette sidste Krav opfylder Euklid (ganske vist paa en Maade, der siger mere 

 end det strengt nødvendige), naar han i sit Postulat 4. siger, at alle rette Vinkler 

 er ligestore, forudsat, at han dermed mener, enten at han om de Vinkler, der 

 ifølge hans Sætninger og Konstruktioner og rationelle Beviser har frembudt sig som 

 rette, vil forudsætte, at de ogsaa ved mekanisk Flytning kan bringes til Dækning, 

 eller omvendt, at de Vinkler, der ad mekanisk Vej kan konstateres at være ligestore 

 med deres Nabovinkler, altsaa rette, ogsaa er ligestore efter de Kendetegn paa Lige- 

 storhed, som Bogens rationelle Fremstilling fører til. Tages Prøven derimod i 

 Postulatets Subjekt og Prædikat fra den sa m me af disse to geometriske Opfattelser, 

 saa er Paastanden ikke noget Postulat, men en Sætning, der er let at bevise. Op- 

 fattet derimod, som jeg her først har gjort det, opfylder Postulat 4. netop det nys- 

 nævnte Krav. Medens vi her har fundet dette ved at tale om den „almindeligere 

 Geometri", som man vilde have, naar dette Postulat mangler, har Euklid og hans 

 Forgængere sikkert kun tænkt paa at opføre en Geometri, der fra Indholdets Side 

 skulde falde sammen med den empiriske. Det er dennes første Elementer, han har 

 villet udtrykke i sine Definitioner og Postulater, og med stor Skarpsindighed, for- 

 bunden med Forsigtighed, har han paa Grundlag af disse opført sine Sætninger 

 uden i sine Beviser at gøre noget Laan fra en Forudsætning om Flytning; han har 

 jo ikke engang uden Bevis villet forudsætte noget saa anskueligt som Existensen 

 af et Liniestykkes Midtpunkt eller en Vinkels Halveringslinie. Det vilde ikke være 



37* 



