324 XIV. Kapitel. 126 



der svarer til Euklid's om plane Trekanter; men ogsaa for disse ligger de af Eu- 

 klid i XI. Bog opstillede Elementer af Stereometrien til Grund. 



Disse Elementer har saaledes for Stereometriens Vedkommende samme For- 

 maal som for Plangeometrien de tidligere af Euklid's Bøger og særlig første Bog, 

 men er svagere og mindre gennemførte i den Maade , hvorpaa dette Formaal 

 realiseres. Herved tænker jeg ikke paa, at visse Definitioner ikke tilfredsstiller 

 de Fordringer, som man nu stiller til en genetisk Definition, der hverken maa 

 sige mere eller mindre, end der er nødvendigt for at tilvejebringe Figuren. Disse 

 er ikke opfyldte, naar f. Ex. et Prisme siges at være den Rumfigur, der begrænses 

 af to modslaaende kongruente (ligeslore og ligedannede) plane Figurer og ellers af 

 Parallelogrammer; Tilvejebringelsen og dermed Beviset for Existensen henviser Eu- 

 klid nemlig her som andelsteds til Sætninger eller Postulater. Andre Definitioner 

 eller Mangler paa Definitioner giver, som vi snart skal se, Anledning til alvorligere 

 Anker. Hvad man endvidere savner, er noget, som svarer til I. Bogs Postulater; 

 ja, Euklid gør i XI. Bog end ikke fuldt ud den Brug af Postulaterne i I. Bog, som 

 netop vilde komme Begyndelsen af Stereometrien til Gode. I I. Bog udtaler Postu- 

 laterne, særlig 1., 2. og 5., nemlig de Egenskaber ved Planens rette Linier, hvortil 

 den geometriske Undersøgelse knyttes; men netop ved at Talen er om Linier i 

 samme Plan, uden hvilket Post. 5. endog er meningsløst, bliver det ogsaa virkelige 

 geometriske Egenskaber ved Planen, som de udtrykker, medens den ved Ordene 

 èf i'ffoy udtrykte Definition (1, 7.) som den tilsvarende Definition paa en ret Linie 

 kun peger hen paa, at der gives Flader, som man kan kalde plane. Naar det 

 nævnte og i Virkeligheden allerede i I. Bog underforstaaede Synspunkt fastholdes, 

 vil I. Post. 1. og 2. overflødiggøre XI. Sætning 1., som udsiger, at en ret Linie, der 

 delvis ligger i en Plan, helt maa ligge deri, og samtidig give simple Begrundelser 

 af XL, 2. og 3., som udsiger, at to rette Linier, der skærer hinanden i et Punkt, 

 ligger i en Plan, og at to Planers Skæringslinie er ret. Euklid's Bevis for Sætning 

 XI, 1. er derimod ligefrem bygget paa XI, 2., idet der antages tegnet en Cirkel i 

 en Plan gennem to rette Linier, som skærer hinanden, og denne Plans Existens be- 

 vises ved 2. Omvendt benyttes Sætning 1. i Beviset for 2., saa der foreligger et 

 virkeligt Cirkelbevis. Selv om Euklid kunde være kommen ud over disse Sæt- 

 ninger ved en Henvisning til Plangeometriens Postulater, er dog som bekendt endnu 

 et Postulat nødigt for fuldt ud at karakterisere Planer, nemlig at to Planer ikke 

 kan have et Punkt fælles uden at have flere (der ifølge de plangeometriske Postu- 

 later da maa Hgge paa en ret Linie); men dette medtager Euklid ikke. 



I øvrigt benyttes som i Plangeometrien Konstruktioner til Beviser for Existensen 

 af de beskrevne Figurer. Ved Hjælp af den i XI, 1.— 3. beviste Bestemmelse af 

 en Plan ved at skulle gaa gennem to hinanden skærende rette Linier bygges disse 

 Konstruktioner paa de i Plangeoinetrien opstillede Postulater. Den Omstændighed, 

 at de ikke skal udføres praktisk, men blot deres Mulighed godtgøres, stemmer 

 ganske med Opfattelsen af Euklid's geometriske Konstruktioner som Existensbeviser. 

 Tilstrækkeligheden af de forud i 20. og 21. opstillede nodvendige Betingelser for 



