328 XIV. Kapitel. 130 



Entydigheden af en Konstruktion, som han først senere var i Stand til at udføre. 

 I Stereometrien derimod fremgaar Ent3'diglieden af den Konstruktion, som her 

 nærmest svarer til Konstruktionen af en flyttet Vinkel, nemlig den af et Hjørne 

 med givne Sider, af det i Plangeometrien beviste, særlig af 1,4., hvor de „Alminde- 

 lige Begreber" allerede er anvendte, og han fritages saaledes nu for at vise tilbage 

 til disse. Den Omstændighed, at Behandlingen derved bliver mindre udførlig, for- 

 bunden med nogen Mangel paa Udtryk for den mere almindelige Synsmaade, som 

 paa en Gang skal omfatte kongruente og symmetriske Figurer, har imidlertid givet 

 Plads for nogen Uvished om Rækkevidden af hans Paastande, saaledes om Omfanget 

 af det udefinerede Begreb: „Lighed" af Hjørner. Dette træder saaledes frem i en 

 Bemærkning af R. Simson, som Heiberg tiltræder i sin Udgave af Euklid (II. Bd., 

 S. 81, Note 2), nemlig at Euklid intetsteds har bevist den i XI, 26. benyttede Paa- 

 stand, at tresidede Hjørner med samme Sider er „lige". Dette Savn maa vistnok 

 gaa ud paa, at det ikke ved at lægge det ene Hjørne over paa det andet er bevist, 

 at Hjørnerne er kongruente. I det Tilfælde, hvor Hjørnerne ikke bliver symme- 

 triske, vil Beviset herfor kunne opnaas ved de samme Betragtninger som den af 

 os paastaaede Entydighed; men til et saadant Paalægningsbevis kunde Euklid ikke 

 indskrænke sig, dels fordi han vil undgaa mekanisk Flytning, dels fordi der saa 

 intet Hensyn toges til den anden Mulighed, nemlig at Hjørnerne kan være symme- 

 triske. Det er Bestræbelserne efter at tage begge disse Hensyn, som noget har 

 dækket over den Bevisførelse, som 23. i Virkeligheden rummer. 



Jeg fastholder saaledes, at Euklid ikke har overset den fra Kongruens forskel- 

 lige Symmetri. For tresidede Hjørners Vedkommende eller for den dermed ens- 

 gældende Behandling af sfæriske Trekanter træder dette endnu tydeligere frem i 

 Menelaos' alt nævnte mere indgaaende Undersøgelser af dette Emne. Udtalelserne 

 passer ligegodt paa kongruente og symmetriske Trekanter, idet der som i Euklid 

 1, 4. blot siges, at Trekanter, der har visse Stykker ligestore, ogsaa maa have de 

 øvrige Stykker ligestore. Og i Beviserne undgaas alle Operationer, der ikke lige- 

 saa vel kan passe paa symmetriske som paa kongruente Trekanter. Herpaa gør 

 Bjørnbo opmærksom i sit anførte Skrift (se særlig S. 32). 



Naar man har fundet ud af, hvad Euklid mener med den „Lighed", som skal 

 finde Sted mellem to tresidede Hjørner, der har samme Sider, og som altsaa er 

 enten kongruente eller symmetriske, og hvorledes han kan mene at have bevist den 

 ved Konstruktionen i 23., vilde man ikke unde det urimeligt, om han var vedblevet 

 at anvende den samme Behandlingsmaade paa Størrelse og Form af Legemer. Efter 

 at have konstrueret tresidede Hjørner vilde han med Lethed have kunnet konstruere 

 en tresidet Pyramide f. Ex. med tre givne Sideflader, og denne Konstruktions En- 

 tydighed, fraset Forskelle i Beliggenhed og Symmelriforskel, vilde her være ligesaa 

 indlysende som i 23. for Hjørnernes Vedkommende. Dernæst kunde alle Polyèdre 

 sammensættes af tresidede Pyramider. En saadan Fremstilling vilde være elemen- 

 tær i samme Forstand som I. Bog og fraset Manglen paa en formel Definition have 

 den Soliditet, som de gamle krævede af „Elementer". 



