330 XIV. Kapitel. 132 



være en nødvendig Betingelse for at Ifalde Polyedrene ligedannede, ikke altid er 

 rigtig, og at Polj^edrene da heller ikke kan kaldes ligestore. Som Exempel herpaa næv- 

 ner R. SiMSON Polyèdre, der er dannede som Sum eller Differens af to Pyramider 

 paa samme Grnndflade (Differens i det Tilfælde, at de begge ligger paa samme 

 Side af denne). For at nævne et Polyeder, som ogsaa Euklid senere behandler, 

 kunde man af et regulært Ikosaeder danne et andet med samme Sideflader ved at 

 lade den Pyramide, der til Sideflader har de 5, som ligger om samme Hjørne, gaa 

 indad. Disse Exempler viser, at heller ikke Formen af en Definition tilsteder hvilke- 

 somhelst Friheder. En Definition maa ikke komme i Strid med andre af de op- 

 stillede Forudsætninger, men vilde her komme i Strid med I, Alm. Begreb 8., at 

 en Del er mindre end det hele. Man har villet undskylde Euklid med, at han her 

 kun skulde tale om konvexe Polyèdre, og Cauchy har ført et Bevis for „Defini- 

 tionens" Brugbarhed i dette Tilfælde; men dels nævner Euklid ikke denne Ind- 

 skrænkning, dels tyder intet paa, at Euklid har kunnet føre et saadant Bevis for, 

 at Hjørnerne i det Tilfælde bliver „lige" eller Toplansvinklerne ligeslore. Delle kan 

 han vel, og endog meget let, i alle de Tilfælde, som han virkelig behandler; men 

 det er en let købt og, som det har vist sig, uægte Pynt, naar Euklid har udstrakt 

 sin Definition til at skulle gælde alle Polyèdre uden at prøve, om de nødvendige 

 Betingelser herfor er tilstede, med samme Omhu, som han vilde have anvendt, hvis 

 Talen havde været om en Sætning, som skulde bevises. Al dette, saavidt man ved, 

 har kunnet gaa upaalalt hen i Oldtiden, da saa mange store Mathematikere byggede 

 paa Euklid, maa bero paa, at man i Virkeligheden kun har behandlet denne De- 

 finition som en Pynt, som ikke brugtes udover saadanne Tilfælde som dem, hvor 

 Euklid selv anvender den, og hvor den paastaaede Ligestorhed ikke efterlader nogen 

 Tvivl. I Følelsen af den Tryghed, hvormed man med fuldeste Ret i Almindelighed 

 kunde bygge paa Euklid, gav man sig ikke til at prove, om han havde Ret i at 

 udstrække en saadan enkelt Paastand ud over det Omraade, hvor man gjorde 

 virkelig Brug deraf. I saadanne Undtagelsestilfælde som dem, vi har nævnt, vilde 

 man ikke tænke paa at anvende hans Definition paa det ukonvexe Legeme, men 

 betragte dette som en DiiTerens mellem to konvexe. Og selv den, der bemærkede 

 Manglen paa Overensstemmelse med hans Definitions Ordlyd, vilde saa mene, at 

 denne kun skulde gælde konvexe Legemer, og for disses Vedkommende stole paa 

 Euklid uden nøjere at prøve hans Paasland. 



Hvad her er sagt om ligeslore og ligedannede Polyèdre, gælder ogsaa om De- 

 finition 9. paa ligedannede Polyèdre. Særlig skal vi blot fremhæve, al ogsaa Lige- 

 dannethed hos Euklid maa omfatte baade, hvad vi nu kalder Ligedannethed, og 

 hvad vi kalder symmetrisk Ligedannethed. 



Anmærkning om Brug af Fortegn. Endnu skal jeg tilføje, at der er nogen 

 Overensstemmelse med den her omtalte Mangel paa Skelnen mellem Kongruens og 

 Symmetri og Manglen af Fortegn hos de gamle. Som nys bemærket vilde der 

 være ligesaa megen Grund som i Rummet til ogsaa i Planen at medtage den nævnte 



