302 XI. Kapitel. 104 



Vinkler, idet da i/'(r) — <?(/•) bliver uafhængig af r, og o kun indgaar i den for alle 

 Vinklerne fælles Faktor \ f(r) rdr. Er derimod en af de Vinkler, hvis Forhold be- 



stemmes, kriimlinet, vil Radius a for Synsfeltet indgaa i dette Forhold, a svarer 

 imidlertid til en bestemt Afstand for Øjepunktet. Skulde en friere Synsoplevelse 

 give en bestemt Værdi for v's Forhold til en Vinkelenhed, niaatte der være en be- 

 stemt Afstand, som betragtedes som den normale. Denne vilde være forskellig for 

 nær- og fjernsynede Øjne. Efter Øjets Beskaffenhed vilde den til en given Afstand 

 svarende Værdi af a og Funktionen f(r) rimeligvis ogsaa blive forskellige. Der er 

 altsaa ingen Udsigt til, at man gennem Synsoplevelse vil komme til nogen fælles 

 Vurdering af krumlinede Fladevinklers Størrelse. 



Dette hindrer ikke, at man kan komme overens om en til det opstillede Inte- 

 gral knyttet mathematisk Be.stemmelse, hvor Forholdet mellem de Grænseværdier, 

 som Integralerne antager for lim. o = O, opfattes som Forholdet mellem Vinklerne. 

 Vinkler mellem Kurver, der berorer hinanden, vil da afhænge af Kurvernes Krum- 

 ning. Denne Indskrænkning til lim. a = O, vil imidlertid være en Opgivelse af Be- 

 tragtningen af en endelig Udstrækning af Fladevinklen eller Takken og udelukkende 

 knyttes til Konturen, og den hele Betragtning har, foruden den Ombytning af Vink- 

 ler mellem hinanden skærende Kurver med Vinkler mellem deres Tangenter, som 

 Euklid burde have fastholdt, ingen Tilknytning lil opbevarede antike Undersøgelser. 



Kap. XI. 

 Bevisers Almindeliggørelse; infinitesimale Opgaver. 



En Hovedbetingelse for, at den omformede Geometri virkelig skulde blive 

 rationel, var selvfølgelig Brug af fuldt ud almindelige Beviser, som ikke paa noget 

 Punkt nøjedes med ufuldstændige Induktioner, heller ikke saadanne, hvor der sluttes 

 til den fulde Almindelighed fra uendelig mange uendelig tæt paa hinanden følgende 

 Tilfælde. En saadan Slutning vil gøres, naar en Sætning bevises under den For- 

 udsætning, at de deri indgaaende Størrelser er kommensurable, og den dernæst be- 

 tragtes som gældende uden denne Indskrænkning. Ligeledes, naar man i de infini- 

 tesimale Undersøgelser uden nogen strengt kontrolleret Grænseovergang anvender 

 paa Grænsetilfælde, hvad der kun er bevist om Størrelser, der nærmer sig til en 

 vis Grænse. Selve Opdagelsen af irrationale Størrelser maatte dog tidlig henlede 

 Opmærksomheden paa Utilstrækkeligheden af saadanne Beviser, og denne Util- 

 strækkelighed stilledes til Skue ved Zenon's Paradoxer. Der krævedes dog en læn- 

 gere Udvikling, under hvilken man gik frem saavel i Paavisningen af forskellige 



