105 Bevisers Almiiideliggørelse ; infîiiitesiiiiale Opgaver. 303 



Størrelsers Irrationalitet som i den almindelige Behandling baade af irrationale 

 Størrelser og af infinitesimale Bestemmelser, der bar god Frugt, selv om den ikke 

 var helt exakt, før de paapegede Mangler kunde blive fuldt forstaaede og afhjulpne. 

 Med denne Udvikling og dens Afslutning ved den Behandling, som findes i Euklid's 

 Elementer har jeg beskæftiget mig i de mindre Arbejder, som findes anført S. 12 

 (210) Note 1, og jeg har paavisl, hvorledes de her omtalte Hensyn har givet Euklid 

 Anledning til hans Fordeling af sit Stof i de 13 Bøger. 



Jeg har ogsaa anført, at det er Eudoxos, hvem Grundlaget for denne Behand- 

 ling skyldes. Han levede jo imidlertid netop ved Begyndelsen af den Tid fra Pla- 

 ton til EuKi.iD, hvis Beformer vi her særlig undersøger. Det vil derfor ogsaa nok 

 være værd at faa Oplj'sninger om, hvorvidt Eudoxos selv i det væsentlige har 

 givet Behandlingen af de paagældende Spørgsmaal den Skikkelse, som vi finder hos 

 Euklid, eller om en videre Udvikling har fundet Sted i Mellemliden eller fra den 

 sidstes Side, ligeledes om muligvis noget Skridt paa denne Vej maatte være gjort 

 for Eldoxos. Meget lader sig ikke sige herom, men el Bidrag faas dog ved de 

 mathematiske Steder hos Aristotelks, som Hkibkrg har samlet i „Mathematisches 

 zu Aristoteles", særlig dem, som findes S. 11 og S. 22—23. 



For nu at gøre den rette Brug af disse vil det være godt forst at anføre de 

 Steder hos Eukijd, hvorpaa han bygger Læren om Forhold mellem inkommen- 

 surable Størrelser og de infinitesimale Bestemmelser, og at nævne de Anvendelser, 

 som Euklid gor deraf. 



V, Def. 4. udtaler, at Størrelser siges „at have et Forhold, naar de ved at 

 mangfoldiggøres kan overgaa hinanden". — For al lale om Forhold mellem to 

 forelagte Størrelser eller maale dem med hinanden, maa man altsaa vide eller po- 

 stulere om dem, at de tilfredsstiller denne Betingelse. Dertil kræves ikke alene, at 

 de er af samme Art, men ogsaa, som vi har set ved hornformede Vinkler, at den 

 ene ikke er at betragte som forsvindende i Forhold til den anden. 



Af dette Postulat udledes Sætning X, 1 : „Naar der er afsat to ulige store Stør- 

 relser, og der fra den største trækkes en, der er større end Halvdelen, og fra Resten 

 en, der er større end dens Halvdel, og man bliver ved med det, vil der blive en 

 eller anden Størrelse til Rest, som vil være mindre end den afsatte mindste Stør- 

 relse". — At Størrelserne er „afsatte" (som Liniestykker), viser, at Talen er om 

 Størrelser, der efter V, Def. 4. „har et Forhold". 



Vi skal straks vende tilbage til den Brug, som i selve X. Bog gøres af X, 1. 

 I XIL Bog lægger Euklid den til Grund for de infinitesimale Grænsebestemmelser 

 af Forholdet mellem to Cirkelarealer (2.) eller Kuglevoluminer (18.), og i 5. bruges 

 den til at forberede Bestemmelsen af Forholdet } mellem en Pyramide eller Kegle 

 og Prismet eller Cylinderen paa samme Grundflade. Den bliver særlig skikket til 

 saadanne Grænseovergange, da den kan bruges til at gøre en passende valgt for- 

 anderlig Størrelse mindre end enhver opgiven Størrelse. Naar saaledes Forholdet 

 mellem to variable Størrelser altid har Værdien B, og man kan bevise, at disse 

 Størrelser kan vælges saaledes, at Differensen mellem deres Forhold og det ube- 



1).K. 1). Vidensk. Selsk.Slir.. nuturvidensk. og malheni. AW., 8. HæUke. 1.6- , 40 



