338 XVI. Kapitel. 140 



tionerne selv maaltet indøves i de Skikkelser, hvoriiiuler de ledest og bedst an- 

 vendtes paa Euklid's egen Tid og af ham selv, saaledes som f. Ex. de Fladeanla^g, 

 han bruger i X. Bog. Ad saadan Vej forstaas det Præg, som Euklid's Elementer 

 satte paa den alexa ndrinske Skole, og den Andel, som de har i de Fremskridt, 

 der skyldes de Mænd, som udgik af denne eller sluttede sig til den eller dog væsent- 

 lig var paavirkede af den. Her maa skelnes mellem Undersøgelser, der allerede 

 var begyndte, da Elementerne blev til, og hvis Fremme man allerede havde for 

 Øje ved deres Udarbejdelse, og saadanne som gjaldt helt nye Sporgsmaal, til hvilke 

 Skolens Principer først maatte tilpasses for at komme til fuld Anvendelse. 



Til de første hører de, der behandler Keglesni ts læren. I nøje Tilslutning 

 til Behandlingen af Ligninger af anden Grad ved Fladeanlæg stod Bestræbelserne 

 for paa lignende Maade at løse Opgaver, der afhænger af Ligninger af Iredie Grad. 

 De først fremtrædende Hovedexempler herpaa er Terningens Multiplikation og Vink- 

 lens Tredeling, altsaa de samme to Opgaver, hvortil man i det XVL Aarhundrede 

 viste, at alle Trediegradsligninger kan fores tilbage. Den første kunde man sikkert 

 tidlig løse tilnærmelsesvis ved en mere eller mindre godt gennemført Kubikrods- 

 uddragning, naar Opgaven forelaa numerisk; men det gjaldt om at faa en Løsning, 

 der, ligesom Kvadratrodsuddragningens Omdannelse til Konstruktion af en Mellem- 

 proportional eller til Anvendelse af den pythagoreiske Sætning, ved sin geometrisk 

 vel definerede Skikkelse kunde betragtes som fuldt almindelig og skikket til at give 

 exakte Existensbeviser. Det var vel ikke svært at faa en til den plane Fremstilling 

 af Algebraen af 2. Grad svarende stereometrisk Fremstilling af en Algebra af 3. 

 Grad, nemlig ved Parallelepipeder og Kuber; paa denne er Fremstillingen af den 

 rent kubiske Ligning som Terningens Multiplikation det første, men ingenlunde 

 eneste Exempel (se f. Ex. Heiberg's 2. Udgave af Akchimedes III S. 136 IL). Stort 

 videre end til Ligningernes Fremstilling kom man dog ikke ad denne Vej. Archytas' 

 stereometriske Losning var nemlig ikke egnet til videre Anvendelse, og ved Brug 

 af Keglesnit spiller den stereometriske Fremstilling af disse Kurver som Snit i Keg- 

 ler kun en Bolle som Bevis for deres Existens, men baade deres videre Under- 

 søgelse og deres Anvendelse som saakaldte „rumlige" Steder til Løsning af „rum- 

 lige" Opgaver er knyttet til plangeometriske Undersøgelser, altsaa til et Omraade, 

 hvormed man forud var langt mere fortrolig end med Stereometrien. 



Den plangeometriske Behandling af Opgaven om Terningens Fordobling hæn- 

 ger sammen med dens Omdannelse til den at bestemme to Mellemproportionaler. 

 Den knj'ttes derved (se S. 40 (238)) til Skæring mellem de to Kurver, der i ret- 

 vinklede Koordinater fremstilles ved Ligningerne xy = ab, y'^ = hx. Et Bevis for 

 disse Kurvers Existens faas ved deres Fremstilling som plane Snit i rette cirkulære 

 Kegler, og paa denne Maade stilledes ogsaa andre Keglesnit til Baadighed for Los- 

 ning af andre Opgaver, der afhænger af Ligninger af 3. eller endog af 4. Grad. 

 Netop paa Grund af denne tjenende Stilling, som Keglesnittene skulde indtage over- 

 for et Øjemed, som vi nærmest kan kalde algebraisk, bekymrede man sig foreløbig 

 ikke om den stereometriske Bestemmelse af alle mulige plane Snit i alle cirkulære 



