141 Euklid's Elementers Skæbne. 339 



Kegler, men holdt sig foreløbig til Fremstilling af de paagældende Kurver som Snit 

 i rette cirkulære Kegler ved Planer vinkelrette paa en Frembringer, og dette ligger 

 til Grund for de Navne: Snit i en spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet Kegle, 

 som man anvendte for Ellipse, Parabel og Hyperbel, indtil Apollonius indførte 

 disse sidste Navne. At det ikke var fra stereometriske Vanskeligheder, at denne 

 Begrænsning hidrørte, ser man hos Archimedes, der, naar han har Brug for det, 

 behandler ogsaa andre Snit i andre cirkulære Kegler, og tilmed gør delte i Hen- 

 hold til Betragtninger, som ingenlunde belegnes som nye. Det ligger nær at antage, 

 at man ogsaa før ham kan have undersøgt Snit i det mindste i andre rette cirku- 

 lære Kegler og netop paa Grund af, at man derved ikke kom til andre Kurver, 

 har nøjedes med den Fremstilling af Keglesnit, som man ansaa for den simpleste. 

 (Se særlig Kap. XXI i „Keglesnitslære'n i Oldtiden"). 



Det var imidlertid den plangeometriske Fremstilling af Kurverne, der fortrins- 

 vis interesserede Grækerne, som vi ser hos Apollonius, der i sin Behandling af 

 Keglesnittenes Elementer holder sig til den, saasnart han ad stereometrisk Vej har 

 sikret Kurvernes Existens. Som vi ser hos Auchi.medes, var denne plangeometriske 

 Fremstilling ogsaa før Apollonios den. som man ofte i Nutiden betegner som 

 Apollonios' Sætning, der for Ellipse og Hyperbel gaar ud paa, at Forholdet 



— er konstant, naar y er Ordinaten til el Punkt af Kurven henført til Axen 



som Abscisseaxe, x og x^ denne Ordinats F"odpunkts Afstande fra Kurvens Top- 

 punkter. Hertil knyttedes altsaa de fortsatte Undersøgelser. Allerede Archimedes 

 kendte den samme Fremstillings Gyldighed, naar Axen var en vilkaarlig Diameter, 

 der skærer Kurven, j/ Halvdelen af en af denne halveret Korde. Paa denne Maade 

 aimindeliggjorde man ogsaa de Opgaver, som man kunde løse ved Kurverne, Al- 

 mindeliggørelser, hvorpaa allerede Euklid maa have lagt Vægt, da allerede han har 

 beskæftiget sig med det saakaldte Sted til tre eller fire Linier. 



En samlet Behandling af Keglesnittenes Elementer er os dog kun bevaret hos 

 Apollonios i de 4 første Bøger af hans Keglesnit'). Disse er affattede efter de 

 samme Principer som Euklid's Elementer og paa delte videregaaende Omraade 

 med samme Formaal. Deres strengt videnskabelige Karakler sikres ved, al Bevi- 

 serne helt igennem støttes paa, hvad der er bevist eller udtrykkelig forudsat i Eu- 

 klid's Elementer. Som Euklid i Elementerne ikke giver nærmere Anvisning, f. Ex. 

 paa den praktiske Brug af Fladeanlæg, læ^gger Apollonios i de nævnte Bøger ikke 

 an paa at give Meddelelse om de Anvendelser, man kan gøre af Læren om Kegle- 

 snit, navnlig til Løsning af rumlige Opgaver. Det er selve denne Lære, som skal 

 fremstilles i sin fulde theoretiske Sammenhæng for derefter at kunne danne el paa- 

 lideligt Grundlag for saadanne Anvendelser. Dette træder særlig tydelig frem i, 

 hvad Apollonios i sine Fortaler siger om tredie Bog, nemlig ikke, at den inde- 



') Ved livad jeg her siger om dette Værk, kan jeg henvise til den udførlige Skildring og Forkla- 

 ring af hele dets Indhold og dettes Enkeltheder, som findes i min: Keglesnitslæren i Oldtiden. 



