342 XVI. Kapitel. 144 



Naar den euklidiske Geometri kunde danne et saa godt og et saa umiddelbart 

 Udgangspunkt for den videre Behandling af Keglesnitslæren, beror dette paa, at de 

 af Euklid strengt beviste Sætninger ogsaa omfatter dem, der ligger til Grund for 

 den geometriske Algebras Operationer. Disse kunde man derfor indøve og videre 

 anvende med fuld Tillid til Exaktheden af de derved vundne Resultater. Det samme 

 gjaldt Anvendelser af Proportioner, idet de Sætninger, bvorpaa disse Anvendelser 

 beror, i Euklid V. var beviste i deres fulde Almindelighed. Her var altsaa Paa- 

 iideligheden af selve Operationsmaterialet bevist. Saaledes forholdt det sig derimod 

 ikke med de infinitesimale Sætninger, hvis Rigtighed bevises i Euklid XII. Her 

 føres kun exakte Beviser for Resultater, der forud var fundne ved intuitive Grænse- 

 overgange. Beviserne var tilmed saadanne, som nok kunde give Anvisning paa, 

 hvorledes nye Resultater af samme Art skulde bevises, naar man først havde fun- 

 det dem, men anviste ikke Veje til at finde saadanne. 



Hermed stemmer det, at man, som et Sted hos Archimedes (Heiberg II. Bd. 

 S. 264) synes at vise, overhovedet ikke før hans Tid var naaet til andre Resultater 

 af denne Art end netop dem, som Euklid beviser. Naar Archimedes selv naar 

 langt videre paa dette Omraade, er det, som vi nu kan se af hans nyfundne Epho- 

 dos, først opnaaet ved Betragtninger af mere eller mindre intuitiv Art — eller dog 

 saadanne, hvis Gyldighed ikke var bygget paa de euklidiske Princijier — nemlig for en 

 stor Del ved Laan fra statiske Sætninger, som endnu ikke var dragne ind under 

 Omraadet af den som exakt anerkendte geometriske Bevisførelse. Efter at have fun- 

 det Sætningerne har Archimedes imidlertid selv givet Bevis for de af ham fundne 

 infinitesimale Sætninger, som helt igennem er byggede paa den euklidiske Geometri 

 og fuldt ud stemmer med de alexandrinske Fordringer. Dertil har nye Postulater 

 været nødvendige, som definerer de Begreber, hvortil de nye Bestemmelser 

 knytter sig. Af disse er de, der tjener til Bestemmelse af Begrebet: en plan krum 

 Linies Længde, Udvidelser til krumme Linier af, hvad Euklid har bevist i Sæt- 

 ningerne I, 20. og 2L om brudte Linier (se S. 76 (274)), og de tilsvarende Bestem- 

 melser af Begrebet: en krum Flades Areal, er Udvidelser heraf. Archimedes be- 

 viser ogsaa almindelige Hjælpesætninger, som kan anvendes og af Archimedes er 

 anvendte ved indbyrdes ganske forskellige Infinitesimalbestemmelser, nemlig saa- 

 danne, som i deres Anvendelser er ensgældende med dem, vi udtrykker ved 



\ xdx = ^x" og \ x^dx = rcc'. 



Ogsaa selve de statiske Sætninger, som Archimedes efter sin Meddelelse i 

 Ephodos i saa rigt Maal har anvendt til at finde de infinitesimale geometriske Sæt- 

 ninger, har han i sine statiske Skrifter underkastet en Behandling efter de Prin- 

 ciper, der ligger til Grund for den euklidiske og dertil knyttede alexandrinske Ma- 

 thematik. At dette er sket, efter at han havde gjort de her nævnte geometriske 

 Anvendelser, og vel endogsaa efter at han har skrevet Ephodos, kan man bl. a. slutte 

 af, at han i Fortalen til dette Skrift tager Afstand fra at betragte Anvendelsen af 

 statiske Sætninger som (exakt-geometriske) Beviser. Desuden er del Omraade, som 



