1*7 Euklid's Elementers Skæbne. 345 



til Løsning af de i delte Brev stillede Opgaver, ved vi ikke; de Snarer, han lægger 

 ved de lo tilsendte urigtige Sætninger (om Emner, som han dog selv ikke da fuld- 

 stændig havde undersøgt) kunde tyde paa, at tidligere Meddelelser fra hans Side 

 kan have givet ham Anledning til bitre Erfaringer. 



Naar Archimedes atter i Indledningen til Skriftet om Spiralerne vender til- 

 bage til sit Savn af Konon, hvem de stillede Opgaver og Meddelelsen af ubeviste 

 Sætninger sikkert vilde have givet saa mange gode Impulser, hvis han havde levet 

 længe nok, behoves herved ikke særlig at tænkes paa de til Konon meddelte Sæt- 

 ninger om Spiraler, for hvis Beviser han forst nu gør Rede. Savnet udtales jo i 

 Forbindelse med alle de i Brevet omtalte Emner, som han netop rekapitulerer i 

 Indledningen til dette Skrift. Han kan saaledes tænke paa Kuglen ligesom i Indled- 

 ningen til Skriftet om Kuglen og Cylinderen eller paa Konoider. Meddelelsen 

 til Konon indeholder dog tillige Hovedsætningerne om Spiralerne, og da ikke ogsaa 

 disse kan være fundne ved hans mekaniske Methode, har han vistnok allerede den 

 Gang brugt de førnævnte integrallignende Bestemmelser, selv om han først i Skrif- 

 tet om Spiralerne har givet dem en exakt Formulering og Begrundelse. 



De samme Operationer har han haft Brug for i de geometriske Beviser for de 

 tidligere ved den mekaniske Methode fundne Sætninger om Konoider og Sfæroider. 

 For Sætningen om Omdrejningsparaboloidens Volumen har han vistnok allerede be- 

 siddet et rent geometrisk Bevis, da han i sin Tid meddelte den til Konon. Der- 

 imod ser man af Begyndelsen af Fortalen til Skriftet oiu Konoider og Sfæroider, 

 der sendtes til Alexandria senere end det om Spiralerne, at han havde holdt det 

 tilbage, fordi han vilde have mere med, nemlig de ham ligeledes ad mekanisk Vej 

 bekendte Sætninger om Hyperboloider og EUipsoider. Disse, hvad der her maa 

 sige: deres exakte geometriske Beviser, har nemlig voldt ham en Del Vanskelig- 

 heder (I 246,7). Naar vi bemærker, at Bestemmelsen af Rumfang af deres Seg- 

 menter beror paa Integrationer af Formen \ {px ±_ qx'^) dx, og Archimedes allerede 

 i Skriftet om Spiraler havde vidst at udføre saadanne, som afhænger af \ xdx 



og \x^dx, kan dette vække nogen Forundring; men af selve Skriftet om Konoider 



og Sfæroider ser vi, hvorledes de Former, hvorunder Bestemmelserne frembyder sig 

 trods den iøjnefaldende Overensstemmelse med Integration, dog ikke umiddelbart 

 giver de Forbindelser, som Fremstillingen ved Integraler nu giver os Anvisning paa '). 

 Hvad her er sagt, giver en Forestilling om, hvor stort et Arbejde der var for- 

 nødent for at naa fra den ad mekanisk Vej erhvervede Viden om de vigtigste Sæt- 

 ninger om Parabelsegment, Kuglen og Konoider og Sfæroider til den elegante Gen- 

 nemførelse af de exakte geometriske Beviser, med hvilke Archimedes forelægger 

 dem i en Fremstilling, der slutter sig nøje til den euklidiske Geometri. Denne 

 Udarbejdelse har da ogsaa krævet Tid ; thi i Fortalen til Skriftet om Spiralerne 



Herom gives nærmere Oplysninger i Keglesnitslærcn i Oldtiden. XX. Afsnit. 



45* 



