149 Euklids Elementers Skæbne. 347 



punkl som Halvcirklen. Snittet i Cylinderhoven bliver da I by, eller som Archi- 

 medes siger: denne Trekant forholder sig til den Trekant i ab, som paa samme 

 Plan afskæres ved et tresidet Prisme a"b med Grundfladen lab og Højden 2 a, som 

 Parabelordinaten y til a. Da i denne Proportions Forhold Efterleddene er kon- 

 stante, kan Akchimedes derpaa anvende Sætning 1. i Skriftet om Konoider og 

 Sfæroider, som han tillige paany anfører som forudkendt Hjælpesætning i Ephodos 

 (li S. 434), og deraf slutte, at Summen af alle Snittene i Cylinderhoven, det er den 



Størrelse, vi kalder \ ^byclx, eller selve Cylinderhoven forholder sig til Summen 

 af alle Snittene i Prismet, der er dette selv eller a'b, som alle Parabelordinaterne 



(.r 



ydxj, altsaa Parabelsegmenlet, forholder sig til alle Ordinaterne a eller Rekt- 



anglet 2a-'. Da nu Archimedes tidligere har fundet, at Parabelsegmentet er to Tre- 

 diedele af dette Rektangel, kan han derved bestemme Cylinderhovens Rumfang. 



Den Maade, hvorpaa han anvender sin paa to Steder anførte Hjælpesætning, 

 falder ganske sammen med en Anvendelse af Cavallieri's Sætning, hvilken denne 

 betragter som intuitivt indlysende uden noget Bevis, og endnu Leibniz begyn- 

 der med at bruge den samme uklare Betegnelse af et Areal eller Integral som Sum 



af alle Ordinater eller \y. Archimedes ser imidlertid i denne Udvidelse til uende- 

 lig mange Led ikke et Bevis, men et intuitivt Hjælpemiddel til at finde det Resul- 

 tat, hvis Bevis han dernæst bringer i fuld Overensstemmelse med den eudoxiske 

 Bevisførelse, som krævedes i Tilslutning til Euklid's Anvendelser af denne. Derved 

 bruger han vel den samme Hjælpesætning, men anvender den nu kun paa de ende- 

 lige Antal af Figurer, indskrevne i og omskrevne om de Skiver og Strimler, hvori 

 parallele Snit deler Cylinderhoven og Parahelsegmentet. 



Paa denne Maade kunde man have bevist Cavallieri's almindelige Sætning 

 og dernæst umiddelbart anvendt denne; men som sine Forgængere nøjes Archi- 

 medes med i hvert enkelt Tilfælde at føre det nøjagtige Bevis for den netop 

 foreliggende Sætning. Det er et saadant Bevis, som han i Ephodos 15. har ført for 

 Sætningen om Cylinderhoven. Dette træder klart frem trods store Lakuner i det 

 foreliggende Manuskript. Hvad der er bevaret, stemmer nemlig saa nøje med den 

 sædvanlige Form for en saadan Bevisførelse, at Lakunerne i Hovedsagen kunde 

 lade sig udfylde næsten ordret. 



Det er saaledes ikke blot den oprindelige mekaniske Udledelse af en stor Del 

 af de vigtigste Resultater, der fremsættes i Archimedes' forskellige tidligere Skrifter, 

 som vi lærer at kende gennem Ephodos; men Fremstillingen i dette Skrifts nye Un- 

 dersøgelse af Cylinderhoven er tillige Paradigma paa den Udviklingsrække, som 

 ogsaa andre Emner maa have været underkastede, inden han har fremstillet dem 

 som fuldt beviste i sine øvrige Skrifter. Efterat han ad mekanisk Vej har fundet 

 dem, vil han ogsaa have opsøgt en saadan infinitesimal Udledelse, som var egnet 

 til at omdannes til den exakte Bevisførelse, som han i disse Skrifter alene forelæg- 



