159 Euklids Elementers Skæbne. 357 



kunde finde hos de gamle Forfattere; men de er blevne til i Hænderne paa Mænd, 

 der havde tilegnet sig det Begreb om Kravet til niathematisk Exakthed, som først 

 er gjort gældende af de gamle Grækere og forplantet til os ved Euklid og dem, 

 der er gaaet videre ad de af ham anviste Veje. 



Overensstemmelsen med antike Betragtningsmaader blev dog ikke straks be- 

 mærket af de Mænd, der paa denne Maade konstruerede en sikker Underbygning for de 

 fra det XVIII. Aarhundrede overleverede algebraiske og infinitesimale Methoder. 

 Man har vistnok ofte anset de endnu tidligere Forgængere for delagtige i disses 

 Svagheder og fra Anvendelsen af geometriske Anskueliggørelser af Differential- og 

 Integralregning sluttet, at den antike Geometri heller ikke bragte mere end en saa- 

 dan. Dette kan have været Tilfældet ogsaa med flere af dem, som nu søgte et so- 

 lidere Grundlag for selve Geometrien, og som ikke altid bemærkede, i hvilken Grad 

 deres interessante Undersøgelser var Skridt videre paa Baner, som Euklid med 

 fuld Bevidsthed havde betraadt. Jeg har flere Steder berørt, at de, som det var at 

 vente, paa mange Punkter er kommen videre og har fremdraget Forudsætninger, som 

 Euklid har anvendt uden udtrykkelig at opstille dem som saadanne. Her skal jeg 

 særlig fremhæve, at man har ført den Analyse, hvorved Platon's Elever søgte at 

 naa de mest oprindelige Forudsætninger, endnu længere tilbage end Euklid. Det 

 er en hel Række Forudsætninger, som han er naaet tilbage til og har opstillet i 

 sine Postulater og tildels i sine Definitioner som Udgangspunkter for sin Lære; men 

 for at den derpaa byggede Geometri virkelig skal være mulig, er det nødvendigt, 

 at disse lade sig forlige indbyrdes. Sikkerheden herfor har Euklid egentlig kun 

 deri, at det er ved Analyse af den empiriske Geometri, der som empirisk maa være 

 mulig, at han er kommen til dem. Deres Mulighed lader sig imidlertid godtgøre, 

 naar man gaar ud fra et endnu længere tilbageliggende Udgangspunkt. Et saadant 

 har man i det moderne almindelige Talbegreb (der da ikke som i Euklid's V. Bog 

 maa udledes geometrisk). Ved Kombination af to saadanne Tal som Koordinater 

 og Anvendelse af den analytiske Geometris Bestemmelse af rette Linier og Cirkler 

 danner man det, som Hjelmslev i en Artikel i Nyt Tidsskrift for Mathematik 1917, 

 A, S. 1, kalder den „arithmetiske" Plan. For denne gælder de euklidiske Postulater, 

 som altsaa lader sig forene indbyrdes. Den saaledes bestemte „arithmetiske" Plan- 

 geometri, og paa lignende Maade en arithmelisk Stereometri, falder altsaa logisk 

 sammen med den euklidiske og kan opbygges af de euklidiske Postulater (med 

 nogle Supplementer). Hjelmslev's egen „Geometri" er derimod empirisk, men strengt 

 empirisk, idet man holder sig til de Erfaringer, som kan kontrolleres. Det, som 

 vi nys og i Kap. VIII kaldte den empiriske Geometri, og hvoraf den euklidiske er 

 dannet ved den Analyse, for hvilken vi i dette Skrift har gjort Rede, var derimod 

 bygget paa ukontrollerede Erfaringer, hvis Grænser man havde overskredet ved 

 intuitive Interpolationer og Extrapolationer. Den „arithmetiske" Geometri er en ra- 

 tionel Udforelse af disse Udvidelser af det empiriske Omraade. 



Indtil for 100 Aar siden var Euklid's Elementer næsten overalt den brugelige 

 Lærebog i „elementær" Geometri og er endnu enkelte Steder vedbleven al være 



