161 Euklids Elementers Skæbne. 359 



havde anvendt Euklid, laa det nær at forsøge at forbinde det nye med meget, som 

 uforandret gik over fra Euklid, og det gamle og nye kunde ikke altid passe sam- 

 men. Saaledes var den første som for Alvor arbejdede paa at afløse Euklid's Ele- 

 menter med en ny Lærebog, nemlig Legendhe, næppe heldig med det nye Ud- 

 gangspunkt, han tog ved at definere den rette Linie som den korteste Vej mellem 

 to af sine Punkter. Denne Definition kunde være god nok paa den Tid, da Maale- 

 snoren var det vigtigste geometriske Redskab, og er det ogsaa nu overfor dem, der be- 

 finder sig paa et ligesaa barnligt Standpunkt. Derimod er den for det første kun 

 et daarligt Middel til ved Anskuelsen at afgøre, om en Linie kan betragtes som ret 

 eller ej; thi til en Afvigelse fra den rette Linie, som er lille af første Orden svarer 

 en Længdeforskel, som er lille af anden Orden (smlgn. S. 94 (292), Note 2). Naar 

 endvidere Legendre's Definition ikke danner noget Udgangspunkt for de simpleste 

 geometriske Undersøgelser, gælder ganske vist, som vi har set, det samme om Eu- 

 klid's 1. Def. 4, og i Virkeligheden bruger Legendre foruden intuitive Betragtnin- 

 ger omtrent de samme Udgangspunkter som dem, Euklid udtrykkelig nævner og 

 bruger. Disse kan imidlertid som hos Euklid bruges til at bevise, at en Side i 

 en Trekant er mindre end Summen af de to andre, hvad der hos Legendre er den 

 væsentligste Anvendelse, han kan gøre af sin Definition, og saaledes burde være en 

 Sætning i Stedet for et i Definitionen indsmuglet Postulat. Hos Euklid er tilmed, 

 som vi har set (S. 76 (274) og 144 1342)), denne Sætning I, 20 samt I, 21 Begyndelsen 

 til den Forklaring, som Archimedes giver paa, hvad man skal forstaa ved en krum 

 Linies Længde '). Det er omvendt dette vanskeligere Begreb, som Legendre vil 

 bruge til at forklare, hvad en ret Linie er. Denne Ombytning kan heller ikke i 

 Nutiden betragtes som heldig, da dog saavel den elementære Bestemmelse af Cir- 

 kelperiferien som Integralregningens af andre Kurvelængder knytter sig til Sammen- 

 ligning med rette Linier som det mere bekendte. 



Som et Exempel paa den Forvirring, der ogsaa, hvor man ikke bruger Eu- 

 klid's Elementer som Lærebog, i Undervisningen kan opstaa ved Blanding mellem 

 Laan fra Euklid og moderne Betragtningsmaader, kan jeg nævne den Maade, hvor- 

 paa man i min Skoletid lærte Proportioner og deres Anvendelse i Geometrien. Et 

 Forhold defineredes som en Kvotient, og der forlød intet om, hvad en saadan be- 

 tød, naar Dividend og Divisor var inkommensurable. Det nyttede da ikke meget, 

 al man i Geometrien sikrede sig Proportionalitet ved Beviser, hvori der toges ud- 

 trykkeligt Hensyn til Muligheden af, at de geometriske Størrelser kunde være in- 

 kommensurable. 



Ved disse Bemærkninger er det ikke min Mening at give Anvisning paa, hvor- 

 ledes den geometriske Undervisning skal anlægges i vore Dage. Ved dels at pege 



') At Proklos (S. 110,10) tillægger Archimedes den „Definition" paa den rette Linie, at den er 

 den korteste mellem sine Endepunkter, maa bero paa en aabenbar Misforstaaelse af den helt omvendte 

 Brug, som Archimedes gor af denne Paastand i Indledningen til sit Skrift om Kuglen og Cylinderen. 

 (Smlgn. min Artikel : lieber einige archimedische Postulate i Archiv für die Geschichte der Naturwissen- 

 schaften I (1909). 



D. K. n. Vidensk. Selsk. Skr., natui viilensk. oK niathcm. .\fü., S. R:ekke, 1. 5. *' 



