107 Bevisers Almiiideliggoielse; inlinitesimale Opgaver. 305 



hvis Forhold har ganske samme Betydnuig som den moderne Mathemaliks alminde- 

 liggjorte Tal, opnaar han dette ved en elegant Brug af V. Def. 4., som staar i samme 

 Forhold til den her nævnte Grænsemethode, som Dedekind's Snitmethode staar til 

 moderne Anvendelser af Grænsemethoden. Dette opnaas ved Hjælp af Definitionerne 

 5. og 7. i V. Bog, som udtrykker Betingelserne for Ligestorhed eller Uligestorhed 

 af to Forhold. Ved Brug af moderne Tegn kan disse udtrykkes saaledes: 



a -.b = c: d 

 naar (5.) for alle hele Tal m og n ma nb medfører mc = nd; 



og a: b> c: d 



naar der (7.) gives saadanne hele Tal m og n, at 



ma > nb, men mc < nd. 

 Det er paa disse Bestemmelser, at Proportionslæren i V. Bog er byggel. 



I den moderne Mathematik er man gaaet følgende Skridt. Først har man 

 nøjedes med en ubevist Grænseovergang fra, hvad der er bevist om rationale Tal 

 (Forhold mellem kommensurable Størrelser) til Anvendelser paa irrationale. Der- 

 næst har man benyttet samme Overgang med Bevis for dens Rigtighed. Endelig 

 har man anvendt Dedekind's Snitmethode. I Oldtiden har man — „selvfølgelig" 

 kan det næsten siges — begyndt med det første Skridt, om man end mere eller 

 mindre kan have skjult Manglen paa egentligt Bevis for sig selv ved Brug af den 

 geometriske Fremstilling'), der samtidig omfatter irrationale og rationale Størrelser. 

 Zenon's Paradoxer viser den logiske Utilstrækkelighed af denne Fremgangsmaade, 

 som Mathematikerne dog ikke kunde undvære, saalænge de ikke havde nogen anden. 

 Det tredie Skridt, hvor V, Def. 4. bruges, er gjort i Euklids V. Bog. Det ligger 

 dog ikke fjernt at antage, at ogsaa Grækerne først er naaet dertil gennem det af os 

 betegnede andet Skridt som et Mellemstadium, paa hvilket de har bevist selve 

 Grænseovergangen ved Hjælp af Euklid X, 1. Dette vilde ganske svare til de Skridt, 

 der lader sig eftervise for infinitesimale Bestemmelsers Vedkommende, nemlig 1. 

 ubeviste Grænseovergange som Demokrit's for Pyramide og Kegle og de langt ældre 

 (se S. 88 (286)), hvorved man i sin Tid har sluttet Cirkelperiferiers Proportionalitet 

 med Diametren, Cirklernes med Kvadraterne paa Diametrene; 2. Grænseovergange 

 beviste ved Euklid X, 1. som i Euklid XH; 3. Grænseovergange omdannede og be- 

 viste ved Euklid V, Def. 4. som hos Archimedes. 



Det lader sig nu virkelig ved Hjælp af de af Heiberg anførte Steder hos Ari- 

 stoteles eftervise, at man ogsaa for Forhold mellem inkommensurable Størrelser 

 til en Tid har benyttet den anførte Mellemform: Grænseovergang bevist ved Eu- 

 klid X, 1., som da paa sin Side enten kan være udledet af Euklid V, Def. 4., der 

 i saa Fald maatte være opstillet forud, eller snarere tidligere direkte opstillet som 

 et Postulat. 



Vi skal først nævne, at Aristoteles viser sit Kendskab til begge disse Ud- 



') Se Oversigt 1915 S. 338, Note. 



40» 



