306 XI. Kapitel. 108 



gangspunkter for exakte Infinitesimal- elier Grænsebesteminelser ved 266*', 2 at sige, 

 at man, naar en Størrelse er given, ved at lægge til kan overskride og ved al trække 

 fra naa under enhver given Grænse. Et andet Sted baade fremhæver han Nød- 

 vendigheden af nøjagtig at definere, hvad man mener med at sætte to Forhold mel- 

 lem inkommensurable Størrelser lige store, og lægger samtidig for Dagen, til hvil- 

 ken Definition han sigter. Han siger nemlig 158'' 29: 



hnxz Sk xa\ iv ~o1q iiabijitaaiv Ivia ål iipiaiioTj Ogsaa i Mathematiken synes et og andet 

 ï}.XEui)iv où padiwç yputpeaHat, nlov xai ort at være vanskeligt at fremstille paa Grund 

 Yj Ttapù r/jv 7:?,eijpàu répvouua zo enlnsåov af Mangel paa Definition, f. Ex. at den 

 ânnimz dtaipet zrjv re ypappr^v xat ro '/^lopiov. Linie, der skærer et Parallelogram paral- 

 TOU 8Ï (tpiapnu pTjHévToç èultécoç (favspùu lelt med en Side, deler baade Linien [d: 

 TO Åeyapevov r/^u jap aurqv àvxavalpzaiv en af de andre Sider] og Fladen paa samme 

 ï-^tt ro. ytopia xac al ypappai, Ian d'ôpiapoç Maade [d: proportionalt]. Men naar De- 

 Toù uàrnù Xoynu ohzoq,. finitionen er udtalt, er Sætningen straks 



indlysende; thi Fladerne og Linierne har 

 samme Antanairesis og dette er Defini- 

 tionen paa samme Forhold [Proportio- 

 nalitet]. 



Kunstordet (hzavaipiaiç. gengives af Aristoteles' Kommentator Alexandkos 

 (in Top. S. 545,15 ed. Wallies) ved Ordet ùvHuifaipaaiç, som i Euklid VII, 2 og X, 2 

 bruges om de Subtraktioner, som anvendes ved den sædvanlige Bestemmelse af 

 største fælles Maal. Da de dertil tjenende Operationer er de samme, som nu bruges 

 ved Udvikling i Kædebrøk, kan man, selv om Grækerne, der jo paa den Tid end 

 ikke brugte Brøksform (S. 17 (215)), ikke kendte til nogen Opstilling som Kæde- 

 brøk, noget frit oversætte Antanairesis ved „Udvikling i Kædebrøk". De nævnte 

 Steder anvendes denne Operation til at prøve, om to Størrelser er kommensurable 

 eller inkommensurable. Det sidste vil være Tilfældet, naar Operationen ikke kan 

 bringes til Ende. Dette er en speciel Form for den her fremsatte Definition paa 

 Ligestorhed af Forhold; thi at to Størrelser har en Antanairesis, som ikke kan 

 føres til Ende, tilkendegiver netop, at deres Forhold ikke tilfredsstiller Betingelsen for 

 at være ligestort med Forholdet mellem to hele Tal, da dette har en endelig Antanaire- 

 sis. Idet nu efter Aristoteles ogsaa i Almindelighed Ligestorheden prøves ved den fort- 

 satte Overensstemmelse mellem de paa Forholdene anvendte Antanaireses, altsaa ogsaa 

 mellem de Kædebrøker, som faas ved at standse disse paa samme Sted, udtrykker 

 Definitionen, at man bestemmer Værdien af et Forhold som Grænseværdien for de 

 af Forholdet dannede Kædebrøkskonvergenter. 



Dermed har man altsaa i hvert Fald det første af de forannævnte Trin. 

 Dette kan man fra først af have troet tilstrækkeligt, idet man formente, at Tilnær- 

 melsesbrøkerne virkelig gav en saadan Bestemmelse af Grænseværdierne, at man af 

 de førstes Ligestorhed eller Uligestorhed umiddelbart kunde slutte de sidstes, med 

 andre Ord, at en given Antanairesis repræsenterer en derved fuldkommen bestemt 



